知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•贵州校级模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．
（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若二面角P-AC-E的余弦值为
6
3
，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

难度：中等

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2．（2016•贺州模拟）如图，在三棱锥P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°．
（1）求证：平面PBC丄平面PAC
（2）已知PA=1，AB=2，当三棱锥P-ABC的体积最大时，求BC的长．

难度：中等

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3．（2016•益阳模拟）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AC=2AB=2，且BC₁⊥A₁C．
（Ⅰ）求证：平面ABC₁⊥平面A₁C₁CA；
（Ⅱ）设D是A₁C₁的中点，判断并证明在线段BB₁上是否存在点E，使DE∥平面ABC₁；若存在，求三棱锥E-ABC₁的体积．

难度：中等

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4．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B=B₁A=AB=BC，∠B₁BC=90°，D为AC的中点，AB⊥B₁D．
（Ⅰ）求证：平面ABB₁A₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线B₁D与平面ACC₁A₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角B-B₁D-C的余弦值．

难度：中等

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5．如图，边长为
2
的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，DC=BC=
1
2
AB=1，点M在线段EC上．
（Ⅰ）证明：平面BDM⊥平面ADEF；
（Ⅱ）判断点M的位置，使得三棱锥B-CDM的体积为
2
18
．

难度：中等

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6．如图所示，已知四棱锥P-ABCD是底面边长为2的菱形，且∠ABC=60°，PA=PB=
2
，PC=2．
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角A-PC-B的正弦值．

难度：中等

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7．（2014•陕西校级模拟）在如图所示的几何体中，△ABC是边长为2的正三角形，AE=1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD=CD，且BD⊥CD．
（1）证明：AE∥平面BCD；
（2）证明：平面BDE⊥平面CDE；
（3）求该几何体的体积．

难度：中等

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8．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA⊥CB，CA=CB=1，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点．
（1）求证：C₁N⊥平面BCN；
（2）求直线B₁C与平面C₁MN所成角θ的正弦值．

难度：中等

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9．在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；
（Ⅱ）线段ED上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC？证明你的结论．

难度：中等

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10．在如图所示的几何体中，四边形ACC₁A₁是矩形，FC₁∥BC，EF∥A₁C₁，∠BCC₁=90°，点A、B、E、A₁在一个平面内，AB=BC=CC₁=2，AC=2
2
．
（1）证明：A₁E∥AB；
（2）证明：平面CC₁FB⊥平面AA₁EB．

难度：中等

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