知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016春•新疆校级期中）已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PEC；
（2）求证：平面PEC⊥平面PDC．

难度：中等

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2．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC与F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示
（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面BCD；
（Ⅱ）在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC？若存在，请指明点M的位置；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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3．如图，在梯形PDCB中，BC=PD，DC∥PB，PB=3DC=3，PD=
2
，DA⊥PB，将△PAD沿AD折起，使得PA⊥AB，得到四棱锥P-ABCD，点M在棱PB上．

（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）如果AM⊥PB，求二面角C-AM-B的正切值；
（Ⅲ）当PD∥平面AMC时，求三棱锥P-ABC与三棱锥M-ABC的体积之比．

难度：较难

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4．如图所示，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．
（1）求证：平面BDE⊥平面ACE；
（2）已知CE=1，点M为线段BD上的一个动点，直线EM与平面ABCD所成角的最大值为
π
4
．
①求正方形ABCD的边长；
②在线段EO上是否存在一点G，使得CG⊥平面BDE？若存在，求出
EG
EO
的值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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5．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，在线段PC上是否存在点M，使二面角M-BQ-C的大小为60°．若存在，试确定点M的位置，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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6．已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，F为线段BC的中点．
（Ⅰ）证明：平面PAF⊥平面PFD
（Ⅱ）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求直线AD与平面PFD所成的角的正弦值．

难度：中等

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7．在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD与侧面PAB都是以A为直角顶点的直角三角形，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，AD=5，E是CD的中点．
（Ⅰ）证明：平面PCD⊥平面PAE；
（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求二面角P-BC-D的正切值．

难度：较难

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8．如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=
1
2
AD
（I）求异面直线BF与DE所成的角的大小；
（II）证明平面AMD⊥平面CDE．

难度：中等

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9．已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=
1
2
AB=1，M是PB的中点．
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角．

难度：较难

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10．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中E为AB的中点．
（1）求直线A₁C₁与平面A₁B₁CD所成角大小；
（2）试确定直线BC₁与平面EB₁D的位置关系，并证明你的结论；
（3）证明：平面EB₁D⊥平面B₁CD．

难度：中等

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