知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．若在北纬45°的纬度圈上有A、B两地，经度差为90°，则A、B两地的球面距离与地球半径的比值为．

难度：中等

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2．如图，在半径为10
3
cm的半圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上，将所截得的矩形铁皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），记圆柱形罐子的体积为V（cm³）．
（1）按下列要求建立函数关系式：
①设AD=xcm，将V表示为x的函数；
②设∠AOD=θ（rad），将V表示为θ的函数；
（2）请您选用（1）问中的一个函数关系，求圆柱形罐子的最大体积．

难度：中等

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3．如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，EA⊥平面ABC，FC∥EA，EA=FC=AB=a．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面BCF；
（Ⅱ）证明五点A、B、C、E、F在同一个球面上，并求A、F两点的球面距离．

难度：中等

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4．已知球O的表面积为8π，A、B、C是球面上的三点，AB=2，BC=1，∠ABC=
π
3
，点M是线段AB上一点，则MC²+MO²的最小值为．

难度：较难

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5．在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC=AD=CD=DE=2，AB=1．
（Ⅰ）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；
（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积．

难度：中等

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6．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=
1
2
BB₁，D是BB₁的中点．
（Ⅰ）求证：平面ADC⊥平面A₁DC；
（Ⅱ）设BC=
2
，求几何体A₁B₁DCC₁的体积．

难度：中等

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7．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2BC=2BB₁，沿平面C₁BD把这个长方体截成两个几何体：
（Ⅰ）设几何体（1）、几何体（2）的体积分为是V₁、V₂，求V₁与V₂的比值；
（Ⅱ）在几何体（2）中，求二面角P-QR-C的正切值．

难度：中等

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8．地球北纬45°圈上有两点A、B，点A在东经130°处，点B在西经140°处，若地球半径为R，则A、B两点在纬度圈上的劣弧长与A、B两点的球面距离之比是．

难度：中等

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9．设地球的半径为R，若甲地位于北纬45°东经70°，乙地位于北纬45°东经160°，则甲、乙两地的球面距离为．

难度：中等

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10．（2012•南充三模）如图，边长为1的正方体ABCD-A_lB₁ C₁ D₁的顶点都在以O为球心的球面上，则A，C两点在该球面上的球面距离为．

难度：中等

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