知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（1）定理：平面内的一条直线与平面的一条斜线在平面内的射影垂直，则这条直线垂直于斜线．
试证明此定理：如图1所示：若PA⊥α，A是垂足，斜线PO∩α=O，a⊂α，a⊥AO，试证明a⊥PO

（2）如图2，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在侧面BCC₁B₁及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD₁，试证明动点P在线段B₁C上．

难度：中等

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2．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2，BB₁=3，D为A₁C₁的中点，E为B₁C的中点．
（1）求直线BE与A₁C所成角的余弦值．
（2）在线段AA₁上是否存在点F，使CF⊥平面B₁DF，若存在，求出|AF|，若不存在，说明理由．

难度：较难

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3．如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为正方形（尺寸如图所示），E为VB的中点．求证：VD∥平面EAC．

难度：中等

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4．如图，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA1=
2
，AB=1，E是DD₁的中点．
（1）求证：AC⊥B₁D；
（2）求二面角E-AC-B的大小．

难度：中等

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5．点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线C：x²=2y上的不同两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两条切线交于点P（x₀，y₀）．
（1）求证：x₀是x₁与x₂的等差中项；
（2）若直线AB过定点M（0，1），求证：原点O是△PAB的垂心；
（3）在（2）的条件下，求△PAB的重心G的轨迹方程．

难度：中等

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6．如图，设四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面为菱形，A₁C与底面垂直．过点C作平面与四棱柱的侧棱垂直，且分别交A₁A于点E，交BB₁于点F，交DD₁于点G．
（1）证明：面A₁CC₁⊥面EFCG；
（2）证明：四边形EFCG为菱形．

难度：中等

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7．在正方体ABCD-A′B′C′D′中，判断下列命题是否正确，并说明理由：
（1）直线AC在平面ABCD内；
（2）设上下底面中心为O，O′，则平面AA′C′C与平面BB′D′D的交线为OO′．
（3）点A，O，C′可以确定一平面．
（4）平面AB′C′与平面AC′D重合．

难度：较易

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8．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，M，N分别是B₁C₁，A₁D₁，A₁B₁，BD，B₁C的中点，求证：
（1）MN∥平面CDD₁C₁．
（2）平面EBD∥平面FGA．

难度：中等

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9．（1）如图，G是△ABC的重心，求证：
GA
+
GB
+
GC
=
0
．
（2）在△ABC中，若
GA
+
GB
+
GC
=
0
，求证：G是△ABC的重心．

难度：较易

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10． P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影．（1）若PA=PB=PC，则O点是△ABC的心；（2）若PA⊥BC，PB⊥AC，则点O是△ABC的心；（3）若PA，PB，PC两两互相垂直，则O点是△ABC的心．

难度：较易

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