知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，$AB$是圆$O$的直径，弦$BD$，$CA$的延长线相交于点$E$，$EF$垂直$BA$的延长线于点$F.$求证：$AB^{2}=BE⋅BD-AE⋅AC$．

难度：较易

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2．
如图，过$⊙O$外一点$P$作一条割线与$⊙O$交于$C$、$A$两点，直线$PQ$切$⊙O$于点$Q$，$BD$为过$CA$中点$F$的$⊙O$的直径．
$(1)$已知$PC=4$，$PQ=6$，求$DF⋅BF$的值；
$(2)$过$D$作$⊙O$的切线交$BA$的延长线于点$E$，若$CD= \sqrt {10}$，$BC=5$，求$AE$的值．

难度：较易

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3．
如图，在$\triangle $$ABC$中，$∠$$ACB$$=90{}^\circ $，$D$，$E$分别为$AC$，$AB$的中点，$BF$$/\!/$$CE$交$DE$的延长线于点$F$．

$(1)$求证：四边形$ECBF$是平行四边形；

$(2)$当$∠$$A$$=30{}^\circ $时，求证：四边形$ECBF$是菱形．

难度：易

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4．如图，$AC\bot BC,CD\bot AB,DE\bot BC$ ，垂足分别为$C,D,E.$若$AC=6,DE=4,$则$CD$的长为_____________．

难度：中等

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5．如图所示，△ABC内接于圆O，D是 $%20%5Chat%20BAC$ 的中点，∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点E，F．
（Ⅰ）求证：BF是△ABE外接圆的切线；
（Ⅱ）若AB=3，AC=2，求DB²-DA²的值．

难度：较易

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6．已知点$P$是圆$O$外的一点，过$P$作圆$O$的切线$PA$，$PB$，切点为$A$，$B$，过$P$作一割线交圆$O$于点$E$，$F$，若$2PA=PF$，取$PF$的中点$D$，连接$AD$，并延长交圆于$H$．
$(1)$求证：$O$，$A$，$P$，$B$四点共圆；
$(2)$求证：$PB^{2}=2AD⋅DH$．

难度：较易

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7．
如图，$⊙O$是$\triangle ABC$的外接圆，$AD$平分$∠BAC$交$BC$于$D$，交$\triangle ABC$的外接圆于$E$．
$(1)$求证：$ \dfrac {AB}{AC}= \dfrac {BD}{DC}$；
$(2)$若$AB=3$，$AC=2$，$BD=1$，求$AD$的长．

难度：较易

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8．直角梯形的一条对角线把梯形分成两个三角形，其中一个是边长为$30$的等边三角形，则这个梯形的中位线长是$($　　$)$

A．$15$

B．$22.5$

C．$45$

D．$90$

难度：易

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9．如图所示，$\triangle ABC$内接于圆$O$，$D$是$ \hat BAC$的中点，$∠BAC$的平分线分别交$BC$和圆$O$于点$E$，$F$．
$($Ⅰ$)$求证：$BF$是$\triangle ABE$外接圆的切线；
$($Ⅱ$)$若$AB=3$，$AC=2$，求$DB^{2}-DA^{2}$的值．

难度：较易

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10．如图，在$\triangle ABC$中，$MN/\!/BC$，$ \dfrac {AM}{MB}= \dfrac {1}{2}$，$MC$，$NB$交于点$O$，若$\triangle OMN$的面积等于$a$，得$\triangle OBC$的面积等于 ______ ．

难度：较易

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