知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
\((I)\)如图，过圆\(O\)外一点\(P\)作圆\(O\)的切线\(PA\)，切点为\(A\)，连接\(OP\)与圆\(O\)交于点\(C\)，过点\(C\)作\(AP\)的垂线，垂足为\(D.\)若\(PA=2\sqrt{5}\)，\(PC∶PO=1∶3\)，求\(CD\)的长．

\((II)\)已知矩阵\(A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \\ \end{bmatrix}\)，列向量\(X=\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix}\)，\(B=\begin{bmatrix} 4 \\ 7 \\ \end{bmatrix}\)，若\(AX=B\)，请直接写出\(A^{-1}\)，并求出\(X\)．

\((III)\)在平面直角坐标系中，以原点\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴，建立极坐标系\(.\)已知圆\(ρ=4\sin \left( \theta{+}\dfrac{\pi}{6} \right)\)被射线\(θ=θ_{0}\left( \rho{\geqslant }0\mathrm{{,}}\theta_{0}\mathrm{{为常数}}\mathrm{{,}}\mathrm{{且}}\theta_{0}\mathrm{{∈}}\left( 0\mathrm{{,}}\dfrac{\pi}{2} \right) \right)\)所截得的弦长为\(2\sqrt{3}\)，求\(θ_{0}\)的值．

\((IV)\)已知\(x > 0\)，\(y > 0\)，且\(2x+y=6\)，求\(4x^{2}+y^{2}\)的最小值．

难度：中等

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2．
如图，四边形\(ABCD\)是圆\(O\)的内接四边形，其中\(AB=AC\)，\(∠ABD=∠CBD\)，\(AC\)与\(BD\)交于点\(F\)，直线\(BC\)与\(AD\)交于点\(E\)．
\((\)Ⅰ\()\)证明：\(AC=CE\)；
\((\)Ⅱ\()\)若\(DF=2\)，\(BF=4\)，求\(AD\)的长．

难度：较易

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3．如图，半径为\(1\)，圆心角为\( \dfrac {3π}{2}\)的圆弧\( \hat AB\)上有一点\(C\)．
\((1)\)若\(C\)为圆弧\(AB\)的中点，点\(D\)在线段\(OA\)上运动，求\(| \overrightarrow{OC}+ \overrightarrow{OD}|\)的最小值；
\((2)\)若\(D\)，\(E\)分别为线段\(OA\)，\(OB\)的中点，当\(C\)在圆弧\( \hat AB\)上运动时，求\( \overrightarrow{CE}⋅ \overrightarrow{CD}\)的取值范围．

难度：难

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4．

\((1)\)如图，已知\(AB\)为圆\(O\)的一条弦，\(P\)为弧\(AB\)的中点，过点\(P\)任作两条弦\(PC\)，\(PD\)，分别交\(AB\)于点\(E\)，\(F.\)求证：\(PE·PC=PF·PD\)．

\((2)\)已知矩阵\(M=\begin{bmatrix} 1 & a \\ \mathrm{{-}}1 & b \\ \end{bmatrix}\)，点\((1,-1)\)在矩阵\(M\)对应的变换作用下得到点\((-1,-5)\)，求矩阵\(M\)的特征值．

\((3)\)在极坐标系中，圆\(C\)的圆心在极轴上，且过极点和点\(\left( 3\sqrt{2}\mathrm{{,}}\dfrac{\pi}{4} \right)\)，求圆\(C\)的极坐标方程．

\((4)\)已知\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\)是正实数，且\(abcd=1\)，求证：\(a^{5}+b^{5}+c^{5}+d^{5}\geqslant a+b+c+d\)．

难度：中等

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5．
已知直线的极坐标方程为\(\rho \sin (\theta +\dfrac{\pi }{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，则极点到直线的距离是_________

难度：较难

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6．选修\(4-1\)：几何证明选讲
如图所示，已知\(PA\)与\(⊙O\)相切，\(A\)为切点，过点\(P\)的割线交圆于\(B\)、\(C\)两点，弦\(CD/\!/AP\)，\(AD\)、\(BC\)相交于点\(E\)，\(F\)为\(CE\)上一点，且\(DE^{2}=EF⋅EC\)．
\((1)\)求证：\(CE⋅EB=EF⋅EP\)；
\((2)\)若\(CE\)：\(BE=3\)：\(2\)，\(DE=3\)，\(EF=2\)，求\(PA\)的长．

难度：中等

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7．
\((1)\)
如图，\(⊙O\)中\(\overset\frown{AB}\)的中点为\(P\)，弦\(PC\)，\(PD\)分别交\(AB\)于\(E\)，\(F\)两点．

\((I)\)若\(∠PFB=2∠PCD\)，求\(∠PCD\)的大小；

\((II)\)若\(EC\)的垂直平分线与\(FD\)的垂直平分线交于点\(G\)，证明\(OG⊥CD\)．

\((2)\) 在直角坐标系\(xOy\)中，曲线\({C}_{1} \)的参数方程为\(\begin{cases}x= \sqrt{3}\cos θ \\ y=\sin θ\end{cases} (θ \)为参数\()\)，以坐标原点为极点，以\(x\)轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线\({C}_{2} \)的极坐标方程为\(ρ\sin ⁡(θ+ \dfrac{π}{4})=2 \sqrt{2} \)．
\((I)\)写出\({C}_{1} \)的普通方程和\({C}_{2} \)的直角坐标方程；
\((II)\)设点\(P\)在\({C}_{1} \)上，点\(Q\)在\({C}_{2} \)上，求\(|PQ|\)的最小值及此时\(P\)的直角坐标．

\((3)\) 已知函数\(f(x)=|2x−a|+a \)
\((I)\)当\(a=2\)时，求不等式\(f(x)⩽6 \)的解集；
\((II)\)设函数\(g(x)=|2x−1|, \)当\(x∈R \)时，\(f(x)+g(x)\geqslant 3\)，求\(a\)的取值范围

难度：易

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8．如图所示，\(\triangle ABC\)是\(⊙O\)的内接三角形，且\(AB=AC\)，\(AP/\!/BC\)，弦\(CE\)的延长线交\(AP\)于点\(D\)，求证：\(AD^{2}=DE⋅DC\)．

难度：较易

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9．在\(\triangle ABC\)中，已知\(AC= \dfrac {1}{2}AB\)，\(CM\)是\(∠ACB\)的平分线，\(\triangle AMC\)的外接圆交\(BC\)边于点\(N\)，求证：\(BN=2AM\)．

难度：中等

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10．
\((I)\)如图，\(\triangle ABC\)的顶点\(A\)，\(C\)在圆\(O\)上，\(B\)在圆外，线段\(AB\)与圆\(O\)交于点\(M\)．

图\((1)\)　　　　　　　　图\((2)\)

\((1)\) 若\(BC\)是圆\(O\)的切线，且\(AB=8\)，\(BC=4\)，求线段\(AM\)的长\(;\)

\((2)\) 若线段\(BC\)与圆\(O\)交于另一点\(N\)，且\(AB=2AC\)，求证：\(BN=2MN\)．
\((II)\)设\(a\)，\(b∈R\)，若直线\(l:ax+y-7=0\)在矩阵\(A=\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ \mathrm{{-}}1 & b \\ \end{bmatrix}\)对应的交换作用下得到的直线为\(l{{'}}:9x+y-91=0\)，求实数\(a\)，\(b\)的值．

\((III)\)在平面直角坐标系\(xOy\)中，若直线\(l:\begin{cases} x{=}1{+}\dfrac{3}{5}t\mathrm{{,}} \\ y{=}\dfrac{4}{5}t \end{cases}(t\)为参数\()\)与曲线\(C:\begin{cases} x{=}4k^{2}\mathrm{{,}} \\ y{=}4k \end{cases}(k\)为参数\()\)交于\(A\)，\(B\)两点，求线段\(AB\)的长．

\((IV)\)设\(a\neq b\)，求证：\(a^{4}+6a^{2}b^{2}+b^{4} > 4ab(a^{2}+b^{2}).\)

难度：中等

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