知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知 a，b∈R，矩阵A=
-1a
b3
所对应的变换 T_A将直线 x-y-1=0变换为自身，求a，b的值．

难度：较难

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2．设矩阵M=
2 -3
-1 a
，点A（2，1）在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点A′（1，-1）．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）如图所示，点A（1，0），点C（0，1），单位正方形OABC在矩阵M所对应的线性变换作用下变成了什么图形？并画出图形．

难度：较难

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3．曲线y²-x-2y=0在二阶矩阵M=
1 a
b 1
的作用下变换为曲线y²=x；
（i）求实数a，b的值；
（ii）求M的逆矩阵M^-1．

难度：较难

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4．给出数阵如下，则该数阵的行列式的值为（　　）

A．495

B．900

C．1000

D．1100

难度：较难

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5．已知线性变换f对应的矩阵M=
0 2
1 -1
，线性变换g对应的矩阵N的属于特征值λ=-1的一个特征向量
ξ
=
1
-1
，向量
α
=
1
2
在线性变换g作用下得到的像为
β
=
8
4
；
（1）求矩阵M的逆矩阵；
（2）求矩阵N；
（3）已知曲线C依次作线性变换f和g，得到曲线C′：x+5y+4=0，求曲线C的方程．

难度：中等

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6．在平面直角坐标系xOy中，把矩阵B=
1
2
0
0 1
确定的压缩变换σ与矩阵A=
0 -1
1 0
确定的旋转变换R_90°进行复合，得到复合变换R_90°．σ．
（I）求复合变换R_90°．σ的坐标变换公式；
（Ⅱ）求圆C：x²+y²=1在复合变换R_90°．σ的作用下所得曲线C′的方程．

难度：较难

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7．求曲线C：xy=1在矩阵M=
1 1
-1 1
对应的变换作用下得到的曲线C₁的方程．

难度：较难

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8．直角坐标系xoy中，点（2，-2）在矩阵M=
0 1
a 0
对应变换作用下得到点（-2，4），曲线C：x²+y²=1在矩阵M对应变换作用下得到曲线C′，
（1）求曲线C′的方程．
（2）求矩阵M的特征值和特征向量．

难度：较难

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9．我们用a_ij（1≤i≤n，1≤j≤n，i，j，n∈N^*）表示矩阵的第i行第j列元素，已知该矩阵的每一行每一列都是等差数列，并且a₁₁=1，a₁₂=a₂₁=2，a₂₂=4．
（1）求a₅₄．
（2）求a_ij关于i，j的关系式；
（3）设行列式
.
a23 a24 a25
a33 a34 a35
a43 a44 a45
.
=D，求证：对任意1≤i，j≤n-2，i，j，n∈N^*时，都有
.
aij ai(j+1) ai(j+2)
a(i+1)j a(i+1)(j+1) a(i+1)(j+2)
a(i+2)j a(i+2)(j+1) a(i+2)(j+2)
.
=D．

难度：中等

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10．已知矩阵A=
0
1
3
1-
2
3
，点M（-1，1），N（0，2）．求线段MN在矩阵A^-1对应的变换作用下得到线段M′N′的长度．

难度：中等

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