知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知矩阵 $M%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%202%20%26%20a%20%5C%5C%20b%20%26%201%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，其中a，b均为实数，若点A（3，-1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．

难度：较易

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2．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Be_%7B1%7D%7D$ = $%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%5C%5C%201%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，并且矩阵M将点（-1，3）变换为（0，8）．
（1）求矩阵M；
（2）求曲线x+3y-2=0在M的作用下的新曲线方程．

难度：易

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3．已知矩阵A= $%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20a%20%26%201%20%5C%5C%20b%20%26%200%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，其中a，b∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点Q（3，3），向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7B%CE%B2%7D$ = $%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%205%20%5C%5C%209%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ．
（1）求a，b的值及矩阵A的特征值、特征向量；
（2）计算A²⁰ $%20%5Coverrightarrow%20%7B%CE%B2%7D$ ．

难度：较易

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4．已知二阶矩阵A= $%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%203%20%26%205%20%5C%5C%200%20%26%20-2%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ．
（1）求矩阵A的特征值和特征向量；
（2）设向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7B%CE%B2%7D$ = $%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%5C%5C%20-1%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，求A²⁰¹⁶ $%20%5Coverrightarrow%20%7B%CE%B2%7D$ ．

难度：较易

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5．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及其对应的一个特征向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Be_%7B1%7D%7D$ = $%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20%5Coverset%7B1%7D%7B1%7D%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，并且矩阵M对应的变换将点A（-1，2）变换成A′（-2，4）．
（1）求矩阵M；
（2）设直线l在M^-1对应的变换作用下得到了直线m：x-y=6，求l的方程．

难度：易

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6．已知二阶矩阵A有特征值λ₁=3及其对应的一个特征向量
a1
=
1
1
，特征值λ₂=-1及其对应的一个特征向量
a2
=
1
-1
，求矩阵A的逆矩阵A^-1．

难度：中等

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7．已知二阶矩阵M=
a 1
3 d
有特征值λ=-1及对应的一个特征向量
e1
=
1
-3
．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）设曲线C在矩阵M的作用下得到的方程为x²+2y²=1，求曲线C的方程．

难度：较难

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8．已知阶矩阵A=
1 2
2 1
，向量β=
2
2

（1）求阶矩阵A的特征值和特征向量；
（2）计算A²β

难度：较难

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9．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量
e1
=
1
1
，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）．
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量
e2
的坐标之间的关系；
（3）求直线l：2x-4y+1=0在矩阵M的作用下的直线l′的方程．

难度：中等

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10．已知二阶矩阵M= $%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7Da%20%26%201%20%5C%5C%203%20%26%20d%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cend%7Bpmatrix%7D$ 有特征值λ=-1及对应的一个特征向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Be_%7B1%7D%7D$ = $%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D1%20%5C%5C%20-3%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cend%7Bpmatrix%7D$ ．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）设曲线C在矩阵M的作用下得到的方程为x²+2y²=1，求曲线C的方程．

难度：中等

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