知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设n阶方阵，任取A_n中的一个元素，记为x₁；划去x₁所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成n-1阶方阵A_n-1，任取A_n-1中的一个元素，记为x₂；划去x₂所在的行和列，…；将最后剩下的一个元素记为x_n，记S_n=x₁+x₂+…+x_n，则
lim
n→∞
Sn
n3+1
= ．

难度：较难

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2．若a_i，j表示n×n阶矩阵中第i行、第j列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为1，2，3，…，n，且a_i+1，j+1=a_i+1，j+a_i，j（i、j=1，2，3，…，n-1），则= ．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=，在9行9列的矩阵中，第i行第j列的元素a_ij=f（），则这个矩阵中所有数之和为．

难度：中等

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4．对于n∈N^*（n≥2），定义一个如下数阵：Ann=
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
… … … …
an1 an2 … ann
，其中对任意的1≤i≤n，1≤j≤n，当i能整除j时，a_ij=1；当i不能整除j时，a_ij=0．设t(j)=
n
i=1
aij=a1j+a2j+…+anj．
（Ⅰ）当n=6时，试写出数阵A₆₆并计算
6
j=1
t(j)；
（Ⅱ）若[x]表示不超过x的最大整数，求证：
n
j=1
t(j)=
n
i=1
[
n
i
]；
（Ⅲ）若f(n)=
1
n
n
j=1
t(j)，g(n)=
∫
n
1
1
x
dx，求证：g（n）-1＜f（n）＜g（n）+1．

难度：较难

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5．已知5×5数字方阵：中，a_ij=，则a_3j+a_i4= ．

难度：中等

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6．设A是m阶方阵，定义运算：A•A=A²，Aⁿ⁺¹=A^n_•A（n∈N^*），称这一运算为矩阵的乘方．显然矩阵的乘方满足：对任意的m，n∈N^*，A^m•Aⁿ=A^m+n，设A=
1 1
0 1
，计算A²，A³，A⁴，并对一切正整数n，猜想Aⁿ= ．

难度：中等

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7．设n阶方阵

任取A_n中的一个元素，记为x₁；划去x₁所在行与列，将剩下的元素按原来的位置关系组成n-1阶方阵A_n-1，任取A_n-1中一个元素，记为x₂，划去x₂所在行与列，…将最后剩下的一个元素记为x_n，记S_n=x₁+x₂+…+x_n，若n=3时，则S₃= ，若n=k时，则S_k= ．

难度：较难

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8．设n阶方阵An=
1 3 5 … 2n-1
2n+1 2n+3 2n+5 … 4n-1
4n+1 4n+3 4n+5 … 6n-1
… … … … …
2n(n-1)+1 2n(n-1)+3 2n(n-1)+5 … 2n2-1

任取A_n中的一个元素，记为x₁；划去x₁所在行与列，将剩下的元素按原来的位置关系组成n-1阶方阵A_n-1，任取A_n-1中一个元素，记为x₂，划去x₂所在行与列，…将最后剩下的一个元素记为x_n，记S_n=x₁+x₂+…+x_n，
若n=3时，则S₃= ，若n=k时，则S_k= ．

难度：较难

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9．如图“杨辉三角形”，从左上角开始的4个元素构成的二阶行列式的值等于1；从左上角开始的9个元素构成的三阶行列式的值也等于1；猜想从左上角开始的16个元素构成的四阶行列式的值等于_________．

难度：中等

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