知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知矩阵A= $%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%203%20%26%201%20%5C%5C%202%20%26%202%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ．
（1）求A²；
（2）求矩阵A的特征值．

难度：中等

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2．
$[$选修$4-2$：矩阵与变换$]$

已知矩阵$A=\left[ \begin{matrix} 2 & -2 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]$，设曲线$C$：${{(x-y)}^{2}}+{{y}^{2}}=1$在矩阵$A$对应的变换下得到曲线$C′$，求$C′$的方程．

难度：易

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3．
已知矩阵$A= \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ a & 1\end{bmatrix}$，其中$a∈R$，若点$P(1,1)$在矩阵$A$的变换下得到点$P′(0,-3)$，
$(1)$求实数$a$的值；
$(2)$求矩阵$A$的特征值及特征向量．

难度：中等

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4．
已知曲线，对它先作矩阵对应的变换，再作矩阵对应的变换，得到曲线，求实数 $m$ 的值．

难度：易

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5．
关于$x$的不等式$| \begin{vmatrix} \left.\begin{matrix}x+a & 2 \\ 1 & x\end{matrix}\right.\end{vmatrix} < 0$的解集为$(-1,b)$．
$(1)$求实数$a$，$b$的值；
$(2)$若$z_{1}=a+bi$，$z_{2}=\cos α+i\sin α$，且$z_{1}z_{2}$为纯虚数，求$\tan α$的值．

难度：较易

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6．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程是
x=1-
2
2
t
y=2+
2
2
t
（t为参数）．
（1）若圆C的极坐标方程为ρ²-2ρcosθ-15=0，求直线l被圆C所截得的弦长；
（2）若矩阵M=
2 1
1 a
的一个特征值是3，求直线l在M对应的变换作用下的直线方程．

难度：中等

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7．已知矩阵A=
1 1
2 1
，向量
β
=
1
2
．求向量
α
，使得A²
α
=
β
．

难度：较难

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8．如图，向量
OA
和
OB
分别经过矩阵M变换成
OA′
成和
OB′
．这个矩阵M将曲线y=sin（x+
π
3
）变换成曲线y=f（x），求f （x）在区间[-
π
3
，2π]上的最大值和最小值．

难度：中等

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9．本题包括高考A，B，C，D四个选题中的B，C两个小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
B．选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=
1 1
2 1
，向量
β
=
1
2
．求向量
α
，使得A2
α
=
β
．
C．选修4-4：极坐标与参数方程
在直角坐标系x0y中，直线l的参数方程为
x=
1
2
t
y=
2
2
+
3
2
t
（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos(θ-
π
4
)．
（1）求直线l的倾斜角；
（2）若直线l与曲线l交于A、B两点，求AB．

难度：中等

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10．利用行列式性质计算：
.
3 2 6
8 10 9
6 -2 21
.
．

难度：较易

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