I.已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，把满足条件\(a_{n+1}\leqslant S_{n}(n∈N^{*})\)的所有数列\(\{a_{n}\}\)构成的集合记为\(M\)．
\((1)\)若数列\(\{a_{n}\}\)通项为\(a_{n}= \dfrac{1}{2^{n}}\)，求证：\(\{a_{n}\}∈M\)；
\((2)\)若数列\(\{a_{n}\}\)是等差数列，且\(\{a_{n}+n\}∈M\)，求公差\(d\)的值；
\((3)\)若数列\(\{a\)\({\,\!}_{n}\)\(\}\)的各项均为正数，且\(\{a\)\({\,\!}_{n}\)\(\}∈M\)，数列\(\{\)\( \dfrac{4^{n}}{a_{n}}\)\(\}\)中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列\(\{a\)\({\,\!}_{n}\)\(\}\)的通项；若不存在，说明理由．
\(II.\)已知矩阵\(A=\left[ \begin{matrix} 1 & a \\ -1 & b \\ \end{matrix} \right]\)的一个特征值为\(2\)，其对应的一个特征向量为\(\alpha =\left[ \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ \end{matrix} \right].\)矩阵\({{B}^{-1}}=\left[ \begin{matrix} 1 & a \\ 0 & b \\ \end{matrix} \right]\)，求\({{(AB)}^{-1}}\)．
\(III.\)在极坐标系中，设直线\(\theta =\dfrac{{ }\!\!\pi\!\!{ }}{{3}}\)与曲线\({{\rho }^{2}}-10\rho \cos \theta +4=0\)相交于\(A\)，\(B\)两点，求线段\(AB\) 中点的极坐标\(.\)
\(IV.\)、如图，四棱锥\(PABCD\)的底面\(ABCD\)是菱形，\(AC\)与\(BD\)交于点\(O\)，\(OP⊥\)底面\(ABCD\)，\(M\)为\(PC\)的中点，\(AC=4\)，\(BD=2\)，\(OP=4\)．
\((1)\) 求直线\(AP\)与\(BM\)所成角的余弦值； \((2)\) 求平面\(ABM\)与平面\(PAC\)所成锐二面角的余弦值．
\(V.\)已知\(F_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}[(-1)^{k}C\rlap{_{n}}{^{k}}f_{k}(x)](n∈N^{*}).\)
\((1)\)若\(f_{k}(x)=x^{k}\)，求\(F_{2\;015}(2)\)的值；
\((2)\)若\(f_{k}(x)= \dfrac{x}{x+k}(x∉\{0,-1,…,-n\})\)，求证：\(F_{n}(x)= \dfrac{n！}{(x+1)(x+2)…(x+n)}\)．