\((2)\)已知向量\(\begin{bmatrix} 1 \\ \mathrm{{-}}1 \\ \end{bmatrix}\)是矩形\(A\)的属于特征值\(-1\)的一个特征向量\(.\)在平面直角坐标系\(xOy\)中，点\(P(1,1)\)在矩阵\(A\)对应的变换作用下变为\(P{{'}}(3,3)\)，求矩阵\(A\)．

\((3)\)在极坐标系中，求直线\(θ=\dfrac{\pi}{4}(ρ∈R)\)被曲线\(ρ=4\sin θ\)所截得的弦长\(AB\)．

\((4)\)求函数\(y=3\sin x+2\sqrt{2{+}2\cos 2x}\)的最大值．

【选做题】在\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)四小题中只能选做\(2\)题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A. 选修\(4-1:\)几何证明选讲

如图，已知\(\triangle ABC\)内接于圆\(O\)，连接\(AO\)并延长交圆\(O\)于点\(D\)，\(∠ACB=∠ADC\)．

求证：\(AD·BC=2AC·CD\)．

B. 选修\(4-2:\)矩阵与变换

设矩阵\(A\)满足：\(A\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 6 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathrm{{-}}1 & \mathrm{{-}}2 \\ 0 & 3 \\ \end{bmatrix}\)，求矩阵\(A\)的逆矩阵\(A^{-1}\)．

C. 选修\(4-4:\)坐标系与参数方程

在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知直线\(\begin{cases} x{=}\mathrm{{-}}\dfrac{3}{2}{+}\dfrac{\sqrt{2}}{2}l\mathrm{{,}} \\ y{=}\dfrac{\sqrt{2}}{2}l \end{cases}(l\)为参数\()\)与曲线\(\begin{cases} x{=}\dfrac{1}{8}t^{2}\mathrm{{,}} \\ y{=}t \end{cases}(t\)为参数\()\)相交于\(A\)，\(B\)两点，求线段\(AB\)的长．

D. 选修\(4-5:\)不等式选讲

设\(x\)，\(y\)，\(z\)均为正实数，且\(xyz=1\)，求证：\(\dfrac{1}{x^{3}y}+\dfrac{1}{y^{3}z}+\dfrac{1}{z^{3}x}\geqslant xy+yz+zx\)．

【选做题】在\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)四小题中只能选做\(2\)题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A. 选修\(4-1:\)几何证明选讲

如图，圆\(O\)的直径\(AB=6\)，\(C\)为圆周上一点，\(BC=3\)，过点\(C\)作圆的切线\(l\)，过\(A\)作\(l\)的垂线\(AD\)，\(AD\)分别与直线\(l\)，圆\(O\)交于点\(D\)，\(E\)，求\(∠DAC\)的大小和线段\(AE\)的长．

B. 选修\(4-2:\)矩阵与变换

已知二阶矩阵\(M\)有特征值\(λ=8\)及对应的一个特征向量\(e_{1}=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\)，且矩阵\(M\)对应的变换将点\((-1,2)\)变换成点\((-2,4)\)．

\((1)\) 求矩阵\(M;\)

\((2)\) 求矩阵\(M\)的另一个特征值．

C. 选修\(4-4:\)坐标系与参数方程

已知圆\(O_{1}\)和圆\(O_{2}\)的极坐标方程分别为\(ρ=2\)，\(ρ^{2}-2\sqrt{2}ρ\cos \left( \theta\mathrm{{-}}\dfrac{\pi}{4} \right)=2\)．

\((1)\) 把圆\(O_{1}\)和圆\(O_{2}\)的极坐标方程化为直角坐标方程\(;\)

\((2)\) 求经过两圆交点的直线的极坐标方程．

D. 选修\(4-5:\)不等式选讲

已知\(a\)，\(b\)，\(c\)为正数，且\(a+b+c=3\)，求\(\sqrt{3a{+}1}+\sqrt{3b{+}1}+\sqrt{3c{+}1}\)的最大值．

\((I)\)如图，过圆\(O\)外一点\(P\)作圆\(O\)的切线\(PA\)，切点为\(A\)，连接\(OP\)与圆\(O\)交于点\(C\)，过点\(C\)作\(AP\)的垂线，垂足为\(D.\)若\(PA=2\sqrt{5}\)，\(PC∶PO=1∶3\)，求\(CD\)的长．

\((II)\)已知矩阵\(A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \\ \end{bmatrix}\)，列向量\(X=\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix}\)，\(B=\begin{bmatrix} 4 \\ 7 \\ \end{bmatrix}\)，若\(AX=B\)，请直接写出\(A^{-1}\)，并求出\(X\)．

\((III)\)在平面直角坐标系中，以原点\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴，建立极坐标系\(.\)已知圆\(ρ=4\sin \left( \theta{+}\dfrac{\pi}{6} \right)\)被射线\(θ=θ_{0}\left( \rho{\geqslant }0\mathrm{{,}}\theta_{0}\mathrm{{为常数}}\mathrm{{,}}\mathrm{{且}}\theta_{0}\mathrm{{∈}}\left( 0\mathrm{{,}}\dfrac{\pi}{2} \right) \right)\)所截得的弦长为\(2\sqrt{3}\)，求\(θ_{0}\)的值．

\((IV)\)已知\(x > 0\)，\(y > 0\)，且\(2x+y=6\)，求\(4x^{2}+y^{2}\)的最小值．

\((I)\)如图，\(\triangle ABC\)的顶点\(A\)，\(C\)在圆\(O\)上，\(B\)在圆外，线段\(AB\)与圆\(O\)交于点\(M\)．

      图\((1)\)　　　　　　　　图\((2)\)

\((1)\) 若\(BC\)是圆\(O\)的切线，且\(AB=8\)，\(BC=4\)，求线段\(AM\)的长\(;\)

\((2)\) 若线段\(BC\)与圆\(O\)交于另一点\(N\)，且\(AB=2AC\)，求证：\(BN=2MN\)．

\((III)\)在平面直角坐标系\(xOy\)中，若直线\(l:\begin{cases} x{=}1{+}\dfrac{3}{5}t\mathrm{{,}} \\ y{=}\dfrac{4}{5}t \end{cases}(t\)为参数\()\)与曲线\(C:\begin{cases} x{=}4k^{2}\mathrm{{,}} \\ y{=}4k \end{cases}(k\)为参数\()\)交于\(A\)，\(B\)两点，求线段\(AB\)的长．

\((IV)\)设\(a\neq b\)，求证：\(a^{4}+6a^{2}b^{2}+b^{4} > 4ab(a^{2}+b^{2}).\)

关于方程\(\begin{vmatrix}{2}^{x} & 1 \\ 3 & {2}^{x}-3\end{vmatrix} \)的解为          ．

若规定\(\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix} =|\) \(ad\)\(-\) \(bc\)\(|\)，则不等式\({\log }_{ \sqrt{2}}\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & x\end{vmatrix} < 0\)的解集是____________．

将函数\(f(x)=\begin{vmatrix}1 & \sin 2x \\ \sqrt{3} & \cos 2x\end{vmatrix} \)的图像向左平移\(t(t > 0)\)个单位，所得图像对应的函数为奇函数，则\(t\)的最小值为        ．

若行列式\(\begin{vmatrix}5 & 1 & π \\ \sin \left(π+x\right) & 0 & \sqrt{2} \\ \cos \left( \dfrac{π}{4}+x\right) & 2 & 1\end{vmatrix} \)的第\(1\)行第\(2\)列的元素\(1\)的代数余子式为\(-1\)，则实数\(x\)的取值集合为__________\(.\)