知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
在直角坐标\(xOy\)中，已知点\(P(0,\sqrt{3})\)，曲线\(C\)的参数方程为\(\begin{cases}x= \sqrt{2}\cos φ \\ u=2\sin φ\end{cases} (\phi \)为参数\().\)以原点为极点，\(x\)轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线\(l\)的极坐标方程为\(ρ=\dfrac{\sqrt{3}}{2\cos \left( \theta -\dfrac{\pi }{6} \right)}\)．

\((1)\)判断点\(P\)与直线\(l\)的位置关系并说明理由；

\((2)\)设直线\(l\)与曲线\(C\)的两个交点分别为\(A\)，\(B\)，求\(\dfrac{1}{\left| PA \right|}+\dfrac{1}{\left| PB \right|}\)的值．

难度：中等

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2．在直角坐标系\(xOy\)中，曲线\(C_{1}\)的参数方程为\(\begin{cases} x=2+2\cos t \\ y=2\sin t \end{cases}(t\)为参数\().\)在以坐标原点\(O\)为极点，\(x\)轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线\(C_{2}\)：\(ρ=2\sin θ\)，曲线\(C\)：\(θ= \dfrac{π}{6}(ρ > 0)\)，\(A(2,0)\)．
\((1)\)把\(C\)\({\,\!}_{1}\)的参数方程化为极坐标方程；

\((2)\)设\(C\)\({\,\!}_{3}\)分别交\(C\)\({\,\!}_{1}\)，\(C\)\({\,\!}_{2}\)于点\(P\)，\(Q\)，求\(\triangle APQ\)的面积．

难度：中等

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3．
在平面直角坐标系\(xOy\)中，以坐标原点\(O\)为极点，\(x\)轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线\(C_{1}\)的参数方程为\(\begin{cases}x=2+\cos θ \\ y=\sin θ\end{cases} (\theta \)为参数\()\)．

\((1)\)求曲线\(C_{1}\)的直角坐标方程\(;\)

\((2)\)曲线\(C_{2}\)的极坐标方程为\(θ= \dfrac{π}{6}\left(p∈R\right) \)，求\(C_{1}\)与\(C_{2}\)的交点的极坐标．

难度：中等

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4．

已知曲线\(C_{1}\)：\(\begin{cases} x=-4+\cos t, \\ y=3+\sin t \end{cases}(t\)是参数\()\)，\(C\)：\(\begin{cases} x=8\cos θ, \\ y=3\sin θ \end{cases}(θ\)是参数\()\)．

\((1)\)化\(C_{1}\)，\(C_{2}\)的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

\((2)\)若\(C_{1}\)上的点\(P\)对应的参数为\(t= \dfrac{π}{2}\)，\(Q\)为\(C_{2}\)上的动点，求\(PQ\)中点\(M\)到直线\(C_{3}\)：\(\begin{cases} x=3+2t, \\ y=-2+t \end{cases}(t\)是参数\()\)距离的最小值

难度：难

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5．
在直角坐标系\(xOy\)中，曲线\(C_{1}\)的参数方程为\( \begin{cases} \overset{x=2+2\cos \alpha }{y=2\sin \alpha }\end{cases}\)，参数\(α∈(0,π)\)，\(M\)为\(C_{1}\)上的动点，满足条件\( \overrightarrow{OM}=2 \overrightarrow{OP}\)的点\(P\)的轨迹为曲线\(C_{2}\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(C_{2}\)的普通方程；
\((\)Ⅱ\()\)在以\(O\)为极点，\(x\)轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，射线\(θ= \dfrac {π}{3}\)与\(C_{1}\)，\(C_{2}\)分别交于\(A\)，\(B\)两点，求\(|AB|\)．

难度：较易

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6．

直线\( \begin{cases} \overset{x=t\cos \alpha }{y=t\sin \alpha }\end{cases}(t\)为参数\()\)与圆\( \begin{cases} \overset{x=4+2\cos \phi }{y=2\sin \phi }\end{cases}(φ\)为参数\()\)相切，则此直线的倾斜角\(α(α > \dfrac {π}{2})\)等于\((\)　　\()\)

A．\( \dfrac {5π}{6}\)

B．\( \dfrac {3π}{4}\)

C．\( \dfrac {2π}{3}\)

D．\( \dfrac {π}{6}\)

难度：较易

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7．

以平面直角坐标系的原点为极点，以\(x\)轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线\(\begin{cases}x= \sqrt{7}\cos φ \\ y= \sqrt{7}\sin ϕ\end{cases} (φ \)为参数\()\)上的点到曲线\(ρ\cos θ+ρ\sin θ=4 \)的最短距离是

A．\(2 \sqrt{2}- \sqrt{7} \)

B．\(0\)

C．\(1\)

D．\(2 \sqrt{2} \)

难度：较易

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8．已知曲线\(C_{1}\)的参数方程为\(\{_{y=4+5\sin t}^{x=5+5\cos t}(t\)为参数\().\)以坐标原点为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线\({{C}_{2}}\)的极坐标方程为\(\rho =2\cos \theta \)．
\((1)\)把\({{C}_{1}}\)的参数方程化为极坐标方程；
\((2)\)求\({{C}_{1}}\)与\({{C}_{2}}\)交点的极坐标\((\rho \geqslant 0,0\leqslant \theta < 2\pi ).\)

难度：中等

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9．

曲线\(C\)的参数方程为\(\begin{cases}x=\sin α-\cos α \\ y=\sin 2α\end{cases} (α\)为参数\()\)，则它的普通方程为( )

A．\(y\)\(=\) \(x\)\({\,\!}^{2}+1\)

B．\(y\)\(=-\) \(x\)\({\,\!}^{2}+1\)

C．\(y=-x^{2}+1\) ，\(x∈[- \sqrt{2} , \sqrt{2} ]\)

D．\(y\)\(=\) \(x\)\({\,\!}^{2}+1\)， \(x\)\(∈[- \sqrt{2} , \sqrt{2} ]\)

难度：较易

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10．

已知曲线\(a > 0,b > 0,\)，曲线\(C\)上任意一点\(P\)作与\(l\)夹角为\(30^{\circ}\)的直线，交\(l\)于点\(A\)，则\(\left| PA \right|\)的最大值是\((\) \()\)

A．\(5\sqrt{5}\)

B．\(\dfrac{24\sqrt{5}}{5}\)

C．\(\dfrac{23\sqrt{5}}{5}\)

D．\(\dfrac{22\sqrt{5}}{5}\)

难度：难

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