在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换\(\begin{cases} & {{x}^{{{{"}}}}}=3x \\ & {{y}^{{{{"}}}}}=\dfrac{y}{2} \end{cases}\)后，曲线\(C\)变为曲线\({{y}^{{{{"}}}}}=\sin {{x}^{{{{"}}}}}\)，则曲线\(C\)的方程是                                                      

\((1)\sin 20^{\circ}·\cos 10^{\circ}-\cos \;160^{\circ}·\sin 10^{\circ}= \)_________

\((2)\)如图，函数\(y=f\left(x\right) \)的图象在点\(p\)处的切线方程是\(y=-2x+9 \)，则\(f\left(4\right)+{f}^{{{{'}}}}\left(4\right) \)的值为__________．

\((3)\)在极坐标系中，直线\(ρ\cos θ- \sqrt{3}ρ\sin θ-1=0 \)与圆\(ρ=2\cos θ \)交于\(A\)，\(B\)两点，则\(\left|AB\right|= \)__________

\((4)\)已知定义在\(R\)上的函数\(f\left(x\right),g\left(x\right) \)满足\(\dfrac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}={a}^{x} \)，且\({f}^{{{{'}}}}\left(x\right)g\left(x\right) < f\left(x\right){g}^{{{{'}}}}\left(x\right) \)，\(\dfrac{f\left(1\right)}{g\left(1\right)}+ \dfrac{f\left(-1\right)}{g\left(-1\right)}= \dfrac{5}{2} \)，若有穷数列\(\left\{ \dfrac{f\left(n\right)}{g\left(n\right)}\right\}\left(n∈{N}^{*}\right) \)的前\(n\)项和等于\(\dfrac{31}{32} \)，则\(n\)等于____．

点\(M\)的极坐标是\(\left(2 \sqrt{2}, \dfrac{7π}{4}\right) \)，则点\(M\)的直角坐标为\((\)　  　\()\)

在极坐标系中，已知圆\(C\)的方程为\(\rho =2\cos (\theta -\dfrac{\pi }{4})\)，则圆心\(C\)的极坐标可以为\((\)　　\()\)

在同一平面直角坐标系中，直线\(x-y=2\)变成直线\(2{x}{{{'}}}-{y}{{{'}}}=4\)的伸缩变换是_________

已知曲线\({{C}_{1}}\)的参数方程为\(\begin{cases} & x=4+5\cos \alpha \\ & y=5+5\sin \alpha \end{cases}(\alpha \)为参数\()\)，以坐标原点为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线\({{C}_{2}}\)的极坐标方程为\(\rho =2\sin \theta \)。

\((1)\)把\({{C}_{1}}\)的参数方程化为极坐标方程；

\((2)\)求\({{C}_{1}}\)与\({{C}_{2}}\)交点的极坐标\((\rho \geqslant 0,0\leqslant \theta < 2\pi )\)。

点\((1,2)\)经过伸缩变换\(\begin{cases} & {x}{{"}}=\dfrac{1}{2}x \\ & {y}{{"}}=\dfrac{1}{3}y \\ \end{cases}\)后的点坐标是\((\)   \()\)

在直角坐标平面内，直线\(l\)过点\(P(1,1)\)，且倾斜角\(α= \dfrac{π}{3} .\)以坐标原点\(O\)为极点，\(x\)轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆\(C\)的极坐标方程为\(ρ=4\sin θ\)．

\((1)\)求圆\(C\)的直角坐标方程；

\((2)\)设直线\(l\)与圆\(C\)交于\(A\)、\(B\)两点，求\(|PA||PB|\)的值．

点\(p(1,- \sqrt{3}) \)，则它的极坐标是\((\)  \()\)