知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在极坐标系中，已知两点A（3， $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ ），B（ $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D$ ），直线1的方程为ρsin（θ+ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ ）=3．
（1）求A，B两点间的距离；
（2）求点B到直线l的距离．

难度：较易

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2．
在直角坐标系$xOy$中，曲线$C_{1}$的方程为$y=k|x|+2.$以坐标原点为极点，$x$轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线$C_{2}$的极坐标方程为$ρ^{2}+2ρ\cos θ-3=0$．
$(1)$求$C_{2}$的直角坐标方程；
$(2)$若$C_{1}$与$C_{2}$有且仅有三个公共点，求$C_{1}$的方程．

难度：难

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3．
在极坐标系中，直线$l$的方程为$ρ\sin ( \dfrac {π}{6}-θ)=2$，曲线$C$的方程为$ρ=4\cos θ$，求直线$l$被曲线$C$截得的弦长．

难度：较易

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4．
在极坐标系中，直线$ρ\cos θ+ρ\sin θ=a(a > 0)$与圆$ρ=2\cos θ$相切，则$a=$ ______ ．

难度：较易

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5．

在直线坐标系$xoy$中，曲线$C_{1}$的参数方程为$\begin{cases} & x=a\cos t \\ & y=1+a\sin t \end{cases}(t$为参数，$a > 0)$。在以坐标原点为极点，$x$轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线$C_{2}$：$ρ=4\cos θ$．

$(1)$说明$C_{1}$是哪一种曲线，并将$C_{1}$的方程化为极坐标方程；

$(2)$直线$C_{3}$的极坐标方程为$θ=α_{0}$，其中$α_{0}$满足$\tan α_{0}=2$，若曲线$C_{1}$与$C_{2}$的公共点都在$C_{3}$上，求$a$。

难度：中等

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6．
$(1)$
如图，$⊙O$中$\overline {AB} $的中点为$P$，弦$PC$，$PD$分别交$AB$于$E$，$F$两点。

$($Ⅰ$)$若$∠PFB=2∠PCD$，求$∠PCD$的大小；

$($Ⅱ$)$若$EC$的垂直平分线与$FD$的垂直平分线交于点$G$，证明$OG⊥CD$。

$(2)$ 在直线坐标系$xoy$中，曲线$C_{1}$的参数方程为$($为参数$)$。以坐标原点为极点，$x$轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线$C_{2}$的极坐标方程为$ρ\sin $( )$=$．
$(I)$写出$C_{1}$的普通方程和$C_{2}$的直角坐标方程；
$(II)$设点$P$在$C_{1}$上，点$Q$在$C_{2}$上，求$∣PQ∣$的最小值及此时$P$的直角坐标．

$(3)$ 已知函数$f(x)=∣2x-a∣+a$．

$(I)$当$a=2$时，求不等式$f(x)\leqslant 6$的解集；
$(II)$设函数$g(x)=∣2x-1∣.$当$x∈R$时，$f(x)+g(x)\geqslant 3$，求$a$的取值范围。

难度：较易

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7．
在直角坐标系$xOy$中，曲线$C$${\,\!}_{1}$ ：$\begin{cases} & x=t\cos \alpha \\ & y=t\sin \alpha \end{cases}$ $(t$为参数，$t \neq 0)$，其中$0 \leqslant α < π$，在以$O$为极点，$x$轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线$C$${\,\!}_{2}$ ：$\rho =2\sin \theta $ ，$C$${\,\!}_{3}$ ：$\rho =2\sqrt{3}\cos \theta $ 。
$(1)$ 求$C$${\,\!}_{2}$ 与$C$${\,\!}_{3}$ 交点的直角坐标；

$(2)$若$C$${\,\!}_{1}$与$C$${\,\!}_{2}$相交于点$A$，$C$${\,\!}_{1}$与$C$${\,\!}_{3}$相交于点$B$，求$|AB|$的最大值。

难度：较难

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8．

在直线坐标系$xoy$中，曲线$C$${\,\!}_{1}$的参数方程为$(α $为参数$)$。以坐标原点为极点，$x$轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线$C$${\,\!}_{2}$的极坐标方程为$ρ\sin (θ+ \dfrac{π}{4} )=2 \sqrt{2} $．

$(I)$写出$C_{1}$的普通方程和$C_{2}$的直角坐标方程；

$(II)$设点$P$在$C_{1}$上，点$Q$在$C_{2}$上，求$∣PQ∣$的最小值及此时$P$的直角坐标．

难度：难

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9．
在直线坐标系$xoy$中，曲线$C$${\,\!}_{1}$的参数方程为$\begin{cases} & x=a\cos t \\ & y=1+a\sin t \end{cases}$$(t$为参数，$a > 0)$。在以坐标原点为极点，$x$轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线$C$${\,\!}_{2}$：$ρ=4\cos θ$．

$(I)$说明$C_{1}$是哪种曲线，并将$C_{1}$的方程化为极坐标方程；

$(II)$直线$C_{3}$的极坐标方程为$\theta ={a}_{0}$，其中${a}_{0}$满足$\tan =2$，若曲线$C_{1}$与$C_{2}$的公共点都在$C_{3}$上，求$a$。

难度：中等

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10．
$(1)$
如图，$⊙O$中$\overset\frown{AB}$的中点为$P$，弦$PC$，$PD$分别交$AB$于$E$，$F$两点．

$(I)$若$∠PFB=2∠PCD$，求$∠PCD$的大小；

$(II)$若$EC$的垂直平分线与$FD$的垂直平分线交于点$G$，证明$OG⊥CD$．

$(2)$ 在直角坐标系$xOy$中，曲线${C}_{1} $的参数方程为$\begin{cases}x= \sqrt{3}\cos θ \\ y=\sin θ\end{cases} (θ $为参数$)$，以坐标原点为极点，以$x$轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线${C}_{2} $的极坐标方程为$ρ\sin ⁡(θ+ \dfrac{π}{4})=2 \sqrt{2} $．
$(I)$写出${C}_{1} $的普通方程和${C}_{2} $的直角坐标方程；
$(II)$设点$P$在${C}_{1} $上，点$Q$在${C}_{2} $上，求$|PQ|$的最小值及此时$P$的直角坐标．

$(3)$ 已知函数$f(x)=|2x−a|+a $
$(I)$当$a=2$时，求不等式$f(x)⩽6 $的解集；
$(II)$设函数$g(x)=|2x−1|, $当$x∈R $时，$f(x)+g(x)\geqslant 3$，求$a$的取值范围

难度：易

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