已知曲线\(C\)的极坐标方程是\(\rho =2\)，以极点为原点，极轴为\(x\)轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线\(l\)的参数方程为\(\left\{ \begin{matrix} x=2-\dfrac{1}{2}t \\ y=1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}t \\ \end{matrix}(t \right.\)为参数\()\) ．

\((\)Ⅰ\()\)写出直线\(l\)与曲线\(C\)在直角坐标系下的方程；

\((\)Ⅱ\()\)设曲线\(C\)经过伸缩变换\(\begin{cases} {x}{{{'}}}=x \\ {y}{{{'}}}=2y \end{cases}\)，得到曲线\({C}{{{'}}}\)，设曲线\({C}{{{'}}}\)上任一点为\(M({{x}_{0}},{{y}_{0}})\)，求\(\sqrt{3}{{x}_{0}}+\dfrac{1}{2}{{y}_{0}}\)的取值范围．

点\(A(1,2)\)在逆时针旋转\({{90}^{\circ }}\)之后变为\({A}{{{'}}}\)，则\({A}{{{'}}}\)坐标为______．

点\(M\)的直角坐标是\(\left(-1, \sqrt{3}\right) \)，则点\(M\)的极坐标为\((\)　　\()\)

选修\(4—4\)：坐标系与参数方程．

在直角坐标系\(xOy\)中，圆\(C\)的参数方程为\(\begin{cases} & x=1+\cos t, \\ & y=\sin t, \\ \end{cases}(t\)为参数\()\)，以坐标原点为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．

\((\)Ⅰ\()\)求圆\(C\)的极坐标方程；

\((\)Ⅱ\()\)直线\(l\)的极坐标方程是\(2\rho \sin (\alpha +\dfrac{\pi }{4})=2\sqrt{2}\)，曲线\(C_{1}\)的极坐标方程为\(θ=α_{0}\)，其中\(α_{0}\)满足\(\tan α_{0}=2\)，曲线\(C_{1}\)与圆\(C\)的交点为\(O\)，\(P\)，与直线\(l\)的交点为\(Q\)，求线段\(PQ\)的长．

已知点\(P\)的极坐标是\((1,\pi )\)，则过点\(P\)且垂直极轴的直线方程是\((\)  \()\)

选修\(4-4\)：坐标系与参数方程

已知曲线\(C\)的参数方程为\(\begin{cases}x=2\cos \left(θ\right) \\ y= \sqrt{3}\sin \left(θ\right)\end{cases} \)，在同一平面直角坐标系中，将曲线\(C\)上的点按坐标变换\(\begin{cases} {x}{{'}}=\dfrac{1}{2}x \\ {y}{{'}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}y \\ \end{cases}\)得到曲线\({C}{{'}}\)，以原点为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
   \((\)Ⅰ\()\)求曲线\({C}{{'}}\)的极坐标方程；
   \((\)Ⅱ\()\)若过点\(A(\dfrac{3}{2},\pi )(\)极坐标\()\)且倾斜角为\(\dfrac{\pi }{6}\)的直线\(l\)与曲线\({C}{{'}}\)交于\(M,N\)两点，弦\(MN\)的中点为\(P\)，求\(\dfrac{|AP|}{|AM|\cdot |AN|}\)的值．