知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（1）解关于x不等式（x-a）（x-1）＜0．
（2）证明：（x+y）（
1
x
+
1
y
）≥4（其中x＞0，y＞0）．

难度：中等

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2．用分析法、综合法证明：若a＞0，b＞0，a≠b，则
a+b
2
＞
ab
．

难度：中等

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3．若x＞0，y＞0，
x
+
y
≤m
x+y
则实数m的最小值为．

难度：中等

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4．已知a、b、c为正数，
（1）若直线2x-（b-3）y+6=0与直线bx+ay-5=0互相垂直，试求2a+3b的最小值；
（2）求证：（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）≥16abc．

难度：较难

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5．已知正实数a，b，c满足
1
a
+
2
b
+
3
c
=1，求证：a+
b
2
+
c
3
≥9．

难度：较难

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6．设函数f（x）=
e2-1
x
，x≠0．其中e=2.71828…
（1）设h（x）=f（x）+
1
x
，求函数h（x）在[
1
2
，2]上的值域；
（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式|f（x）-1|＜a成立．

难度：较难

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7．（Ⅰ）已知a，b∈R⁺，求证：（a+b）（a²+b²）（a³+b³）≥8a³b³；
（Ⅱ）已知a、b、c∈R⁺，且a+b+c=1．求证：(
1
a
-1)(
1
b
-1)(
1
c
-1)≥8．

难度：较难

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8．已知a，b∈R，求证：a²-ab+b²≥0．

难度：较易

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9．设函数f（x）=|x+1|+|x-1|，x∈R，不等式f（x）≤2
3
的解集为M．
（1）求M；
（2）当a，b∈M时，证明：
3
|a+b|≤|ab+3|．

难度：较难

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10．已知函数f（x）=xlnx和g（x）=m（x²-1）（m∈R）
（Ⅰ）m=1时，求方程f（x）=g（x）的实根；
（Ⅱ）若对于任意的x∈（1，+∞），函数y=g（x）的图象总在函数y=f（x）图象的上方，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：
4
4×12-1
+
4×2
4×22-1
+…+
4×n
4×n2-1
＞ln（2n+1）（n∈N^*）

难度：较难

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