知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知正数\(x\)，\(y\)，\(z\)满足\(x^{2}+y^{2}+z^{2}=6\)．
\((1)\)求\(x+2y+z\)的最大值；
\((2)\)若不等式\(|a+1|-2a\geqslant x+2y+z\)对满足条件的\(x\)，\(y\)，\(z\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围．

难度：较易

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2．
已知函数\(f(x)=m-|x-1|\)，\((m > 0)\)，且\(f(x+1)\geqslant 0\)的解集为\([-3,3]\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(m\)的值；
\((\)Ⅱ\()\)若正实数\(a\)，\(b\)，\(c\)满足\( \dfrac {1}{a}+ \dfrac {1}{2b}+ \dfrac {1}{3c}=m\)，求证：\(a+2b+3c\geqslant 3\)．

难度：较易

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3．
\((1)\)设\(a\)，\(b∈R_{+}\)，\(a+b=1\)，求证\( \dfrac {1}{a}+ \dfrac {1}{b}\geqslant 4\)．
\((2)\)已知\(x+2y+3z=1\)，求\(x^{2}+y^{2}+z^{2}\)的最小值．

难度：较易

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4．
求函数\(y=3\sin x+2 \sqrt {2+2\cos 2x}\)的最大值．

难度：较易

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5．
二维形式的柯西不等式：若\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\)都是实数，则\((a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geqslant (ac+bd)^{2}\)，当且仅当\(ad=bc\)时取等号．
\((1)\)证明二维形式的柯西不等式；
\((2)\)利用柯西不等式，求函数\(y=3 \sqrt {x-1}+ \sqrt {20-4x}\)的最大值．

难度：易

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6．
设不等式\(|x+1|+|x-1|\leqslant 2\)的解集为\(M\)．
\((\)Ⅰ\()\)求集合\(M\)；
\((\)Ⅱ\()\)若\(x∈M\)，\(|y|\leqslant \dfrac {1}{6}\)，\(|z|\leqslant \dfrac {1}{9}\)，求证：\(|x+2y-3z|\leqslant \dfrac {5}{3}\)．

难度：难

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7．
已知\(a\)，\(b\)，\(c\)为正数，且\(a+b+c=3\)，求\( \sqrt {3a+1}+ \sqrt {3b+1}+ \sqrt {3c+1}\)的最大值．

难度：易

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8．

若实数\(a\)，\(b\)，\(c\)满足对任意实数\(x\)，\(y\)有\(3x+4y-5\leqslant ax+by+c\leqslant 3x+4y+5\)，则\((\)　　\()\)

A．\(a+b-c\)的最小值为\(2\)

B．\(a-b+c\)的最小值为\(-4\)

C．\(a+b-c\)的最大值为\(4\)

D．\(a-b+c\)的最大值为\(6\)

难度：易

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9．
已知\(a > 0\)，\(b > 0\)，函数\(f(x)=|x+a|+|x-b|\)的最小值为\(4\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(a+b\)的值；
\((\)Ⅱ\()\)求\( \dfrac {1}{4}a^{2}+ \dfrac {1}{9}b^{2}\)的最小值．

难度：较易

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10．

设实数\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\)，\(e\)同时满足关系：\(a+b+c+d+e=8\)，\(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}=16\)，则实数\(e\)的最大值为\((\)　　\()\)

A．\(2\)

B．\( \dfrac {16}{5}\)

C．\(3\)

D．\( \dfrac {2}{5}\)

难度：易

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