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          共50条信息

            • 1．
              高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题\(.\)一位同学受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：

              \((1)\)图\(1\)矩形中白色区域面积等于图\(2\)矩形中白色区域面积；
              \((2)\)图\(1\)阴影区域面积用\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\)表示为______；
              \((3)\)图\(2\)中阴影区域的面积为 \( \sqrt {a^{2}+b^{2}} \sqrt {c^{2}+d^{2}}\sin ∠BAD\)；
              \((4)\)则柯西不等式用字母\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\)可以表示为\((ac+bd)^{2}\leqslant (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2}).\)
              请简单表述由步骤\((3)\)到步骤\((4)\)的推导过程：______．
              难度：中等
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            • 2．

              选修\(4—5\)：不等式选讲

              已知函数\(f(x)=m-\left| x+4 \right|(m > 0)\)，且\(f(x-2)\geqslant 0\)的解集为\(\left[ -3,-1 \right]\)．

              \((1)\) 求\(m\)的值；

              \((2)\)若\(a,b,c\)都是正实数，且\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{3c}=m\)，求证：\(a{+}2b{+}3c\geqslant 9\)．

              难度：难
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            • 3．

              选修\(4-5\)：不等式选讲

              已知函数\(f\left( x \right)=\left| x-a \right|+\left| x+b \right|\left( a > 0,b > 0 \right)\)．

              \((1)\)若\(a=1,b=2\)，解不等式\(f\left( x \right)\leqslant 5\)；

              \((2)\)若\(f\left( x \right)\)的最小值为\(3\)，求\(\dfrac{{{a}^{2}}}{b}+\dfrac{{{b}^{2}}}{a}\)的最小值．

              难度：难
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            • 4．

              若关于\(x\)的不等式\(|x+a|\leqslant b\)的解集为\([-6,2]\)．

              \((\)Ⅰ\()\)求实数\(a\)，\(b\)的值；

              \((\)Ⅱ\()\)若实数\(y\)，\(z\)满足\(|ay+z| < \dfrac{1}{3}\)，\(|y-bz| < \dfrac{1}{6}\)，求证：\(|z| < \dfrac{2}{27}\)．

              难度：难
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            • 5．
              已知实数\(x\)，\(y\)，\(z\)满足\(x+y+z=2\)，求\(2x^{2}+3y^{2}+z^{2}\)的最小值．
              难度：易
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            • 6．
              对于\(c > 0\)，当非零实数\(a\)，\(b\)满足\(4a^{2}-2ab+b^{2}-c=0\)且使\(|2a+b|\)最大时，\( \dfrac {1}{a}+ \dfrac {2}{b}+ \dfrac {4}{c}\)的最小值为 ______ ．
              难度：中等
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            • 7．
              已知\(a > 0\)，\(b > 0\)，\(c > 0\)，函数\(f(x)=|x+a|+|x-b|+c\)的最小值为\(4\)．
              \((1)\)求\(a+b+c\)的值；
              \((2)\)求\( \dfrac {1}{4}a^{2}+ \dfrac {1}{9}b^{2}+c^{2}\)的最小值．
              难度：中等
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            • 8．
              已知实数\(x\)，\(y\)，\(z\)满足\(x+2y+z=1\)，则\(x^{2}+4y^{2}+z^{2}\)的最小值是 ______ ．
              难度：较易
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            • 9．
              已知 \(a\)， \(b\)， \(c\)\(∈R^{*}\)，证明：
              \((1)( \)\(a\)\(+\) \(b\)\(+\) \(c\)\()(\) \(a\)\({\,\!}^{2}+\) \(b\)\({\,\!}^{2}+\) \(c\)\({\,\!}^{2})\leqslant 3(\) \(a\)\({\,\!}^{3}+\) \(b\)\({\,\!}^{3}+\) \(c\)\({\,\!}^{3})\)；
              \((2) \dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b} \geqslant \dfrac{3}{2} \)．
              难度：难
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            • 10．

              \((1)\)在直角坐标系\(xOy \)中，曲线\(B\)是过点\(P(-1,1) \)，倾斜角为\( \dfrac{π}{4} \)的直线，以直角坐标系\(xOy \)的原点为极点，\(x\)轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线\(A\)的极坐标方程是\({p}^{2}= \dfrac{12}{3+{\sin }^{2}θ} \)．

              \(①\)求曲线\(A\)的普通方程和曲线\(B\)的一个参数方程；

              \(②\)曲线\(A\)与曲线\(B\)相交于\(M\)，\(N\)两点，求\(\left|MP\right|+\left|NP\right| \)的值．


              \((2)\)已知定义在\(R\)上的函数\(f(x)=\left|x+1\right|+\left|x-2\right| \)的最小值为\(a\)．

              \(①\)求\(a\)的值；

              \(②\)若\(p\)，\(q\)，\(r\)为正实数，且\(p+q+r=a \)，求证：\({p}^{2}+{q}^{2}+{r}^{2}\geqslant 3 \)．

              难度：较易
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