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          共50条信息

            • 1．

              设正项数列\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的前\(n\)项和为\({S}_{n} \)，且满足\({S}_{n}= \dfrac{1}{2}{{a}_{n}}^{2}+ \dfrac{n}{2}\left(n∈N*\right) \)．

              \((1)\)计算\({a}_{1}\;,\;{a}_{2\;},\;{a}_{3} \)的值，并猜想\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的通项公式；

              \((2)\)用数学归纳法证明\(\left\{{a}_{n}\right\} \)的通项公式．

              难度：较易
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            • 2．

              当\(n\in {{N}^{*}}\)时，\({{S}_{n}}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdot \cdot \cdot +\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n}\)，\({{T}_{n}}=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+3}+\cdot \cdot \cdot +\dfrac{1}{2n}\)，

              \((\)Ⅰ\()\)求\({{S}_{1}},{{S}_{2}},{{T}_{1}},{{T}_{2}}\)；

              \((\)Ⅱ\()\)猜想\({{S}_{n}}\)与\({{T}_{n}}\)的关系，并用数学归纳法证明．

              难度：较难
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            • 3．

              当\(n∈N^{*}\)时，\({{S}_{n}}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots +\dfrac{1}{2n-1}\dfrac{1}{2n}{{T}_{n}}=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\dfrac{1}{n+3}+\cdots +\dfrac{1}{2n}\)

              \((1)\)求\(S_{1}\)，\(S_{2}\)，\(T_{1}\)，\(T_{2}\)．

              \((2)\)猜想\(S_{n}\)与\(T_{n}\)的关系，并用数学归纳法证明

              难度：难
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            • 4．

              已知\(n∈N*\)，求证：\(1·2^{2}-2·3^{2}+…+(2n-1)·(2n)^{2}-2n·(2n+1)^{2}=-n(n+1)(4n+3)\)．

              难度：中等
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            • 5．

              已知\(f(n)=1^{2}+2^{2}+3^{2}+…+(2n)^{2}\)，则\(f(k+1)\)与\(f(k)\)的关系是\((\)　　\()\)

              A．\(f(k+1)=f(k)+(2k+1)^{2}+(2k+2)^{2}\)

              B．\(f(k+1)=f(k)+(k+1)^{2}\)

              C．\(f(k+1)=f(k)+(2k+2)^{2}\)

              D．\(f(k+1)=f(k)+(2k+1)^{2}\)
              难度：易
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            • 6．

              函数\(f_{1}(x)=\dfrac{1}{x}\)，\(f_{2}(x)=\dfrac{1}{x+{{f}_{1}}(x)}\)，\(…\)，\(f_{n+1}(x)=\dfrac{1}{x+{{f}_{n}}(x)}\)，\(…\)，则函数\(f_{2018}(x)\)是\((\)　　\()\)

              A．奇函数但不是偶函数                    
              B．偶函数但不是奇函数

              C．既是奇函数又是偶函数                  
              D．既不是奇函数又不是偶函数
              难度：较易
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            • 7．

              用数学归纳法证明\(1+ \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{3}+⋯+ \dfrac{1}{{2}^{n}-1} < n\left(n∈{N}^{*}且n > 1\right) \)，第一步即证不等式________________________成立．

              难度：较易
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            • 8． 利用数学归纳法证明不等式\(1+ \dfrac {1}{2}+ \dfrac {1}{3}+ \dfrac {1}{4}+…+ \dfrac {1}{2^{n-1}+1} < f(n)(n\geqslant 2,n∈N^{*})\)的过程中，由\(n=k\)变到\(n=k+1\)时，左边增加了\((\)　　\()\)
              A．\(1\)项
              B．\(k\)项
              C．\(2^{k-1}\)项
              D．\(2^{k}\)项
              难度：较易
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            • 9．

              用数学归纳法证明\(\dfrac{1}{n+1}+ \dfrac{1}{n+2}+⋯+ \dfrac{1}{3n}\geqslant \dfrac{5}{6} \)时，从\(n=k\)到\(n=k+1\)，不等式左边需添加的项是\((\)    \()\)

              A．\(\dfrac{1}{3k+1}+\dfrac{1}{3k+2}+\dfrac{1}{3k+3}\)
              B．\(\dfrac{1}{3k+1}+\dfrac{1}{3k+2}-\dfrac{2}{3k+3}\)
              C．\(\dfrac{1}{3k+3}-\dfrac{1}{k+1}\)
              D．\(\dfrac{1}{3k+3}\)
              难度：较难
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            • 10．
              试用数学归纳法证明\( \dfrac {1}{2^{2}}+ \dfrac {1}{3^{2}}+…+ \dfrac {1}{(n+1)^{2}} > \dfrac {1}{2}- \dfrac {1}{n+2}\)．
              难度：中等
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