知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．用数学归纳法证明不等式
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
n+n
＞
13
24
的过程中，由n=k推导n=k+1时，不等式的左边增加的式子是．

难度：中等

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2．请用数学归纳法证明：1+3+6+…+
n(n+1)
2
=
n(n+1)(n+2)
6
（n∈N^*）

难度：中等

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3．用数学归纳法证明：
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n+1
＞
25
24
．（n=1，2，3…）

难度：较难

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4．已知数列{a_n}的通项公式a_n=
1
(n+1)2
（n∈N^*），记f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）．
（1）试通过计算f（1），f（2），f（3）的值，推测出f（n）的值；
（2）试用数学归纳法证明你的推测．

难度：中等

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5．用数学归纳法证明：-1+3-5+…+（-1）ⁿ（2n-1）=（-1）ⁿn．

难度：中等

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6．用数学归纳法证明：1+

1

1+2

+

1

1+2+3

+…+

1

1+2+3+…+n

=

2n

n+1

时，由n=k到n=k+1左边需要添加的项是（　　）

A．

1

k(k+2)

B．

1

k(k+1)

C．

1

(k+1)(k+2)

D．

2

(k+1)(k+2)

难度：较易

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7．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，2S_n=（n+1）a_n（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想a_n的表达式，并加以证明．

难度：较难

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8．用数学归纳法证明
1
22
+
1
32
+…+
1
(n+1)2
＞
1
2
-
1
n+2
，假设n=k时，不等式成立，则当n=k+1时，应推证的目标不等式是．

难度：中等

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9．用数学归纳法证明“1+2+…+n+（n-1）…+2+1=n²（n∈N+）”，从n=k到n=k+1时，左边添加的代数式为（　　）

A．k+1

B．k+2

C．k+1+k

D．2（k+1）

难度：中等

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10．已知函数f（x）=ax²+ln（x+1）（a∈R）．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在
x≥0
x-y≥0
，所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．
（Ⅲ）将函数y=f（x）的导函数的图象向右平移一个单位后，再向上平移一个单位，得到函数y=g（x）的图象，试证明：当a=
1
2
时，[g（x）]ⁿ-g（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N⁺）．

难度：较难

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