知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

已知数列\(\{a_{n}\}\)是首项为\(1\)，公差为\(2\)的等差数列，数列\(\{b_{n}\}\)满足\(\dfrac{{{a}_{{1}}}}{{{b}_{{1}}}}+\dfrac{{{a}_{{2}}}}{{{b}_{{2}}}}+\dfrac{{{a}_{{3}}}}{{{b}_{{3}}}}+\ldots +\dfrac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}=\dfrac{{1}}{{{{2}}^{n}}}\)，若数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，则\(S_{5}=\)

A．\(-454\)

B．\(-450\)

C．\(-446\)

D．\(-442\)

难度：中等

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2．

在数列\(\{{{a}_{n}}\}\)中，\({{a}_{\ 1}}=2,{{a}_{n+1}}={{a}_{n}}+\ln (1+\dfrac{1}{n})\)，则\({{a}_{n}}=\) \((\) \()\)

A．\(2+(n-1)\ln n\)

B．\(2+\ln n\)

C． \(2+n\ln n\)

D．\(1+n+\ln n\)

难度：较易

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3．

设数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=n^{3}\)，则\(a_{4}\)的值为\((\)　　\()\)

A．\(15\)

B．\(37\)

C．\(27\)

D．\(64\)

难度：中等

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4．

下列可作为数列\(\{{{a}_{n}}\}:1,2,1,2,1,2,\cdots \)的通项公式的是 \((\) \()\)

A．\({{a}_{n}}=1\)

B．\({{a}_{n}}=\dfrac{{{(-1)}^{n}}+1}{2}\)

C．\({{a}_{n}}=2-|\sin \dfrac{n\pi }{2}|\)

D．\({{a}_{n}}=\dfrac{{{(-1)}^{n-1}}+3}{2}\)

难度：易

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5．
数列\(\{ a_{n}\}\)中，若\(S_{n}{=}n^{2}{-}2{,}n{∈}N^{{*}}\)，则\(a_{n}{=}\)______．

难度：难

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6．已知数列\(\{ \)\(a_{n}\)\(\}\)的前 \(n\)项和为 \(S_{n}\)且 \(a_{n}\)\(=\) \(n\)\(·2\) \({\,\!}^{n}\)，则 \(S_{n}\)\(=\)________．

难度：难

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7．

\((1)\)已知\(\triangle ABC\)的三边长分别为\(3\)，\(5\)，\(7\)，则该三角形的外接圆半径等于_________．

\((2)\)在\(\triangle \)\(ABC\)中，\(∠A= \dfrac{2π}{3} \) ，\(a= \sqrt{3}c \)，则\( \dfrac{b}{c} =\)_________．

\((3)\)观察数列\( \dfrac{3}{2},- \dfrac{8}{3}, \dfrac{15}{4},- \dfrac{24}{5}, \dfrac{35}{6},- \dfrac{48}{7}… \)的一个通项公式是________

\((4)\)在\(\triangle ABC\)中，角\(A\)，\(B\)，\(C\)所对的边分别是\(a\)，\(b\)，\(c\)，若\({b}^{2}+{c}^{2}={a}^{2}-bc \)，且\( \overset{→}{AC}· \overset{→}{AB}=-4 \)，则\(\triangle ABC\)的面积等于．

难度：中等

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8．

已知对任意\(n∈{N}_{+} \)都有\({a}_{n}=n(n+λ) \)恒成立，且数列\(\{{a}_{n}\} \)是递增数列，则实数\(λ \)的取值范围是____________

难度：难

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9．

已知数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=- \dfrac{1}{2}n^{2}+kn(\)其中\(k∈N^{*})\)，且\(S_{n}\)的最大值为\(8\)．

\((1)\)确定常数\(k\)，并求\(a_{n}\)；

\((2)\)设数列\(\left\{\begin{matrix} \dfrac{9-2a_{n}}{2^{n}} \end{matrix}\right\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，求证：\(T_{n} < 4\)．

难度：较难

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10．
．已知数列\(\{\)\(a_{n}\)\(\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(S_{n}=a_{n+}\)\({\,\!}_{1}\)\(+n-\)\(2\)，\(n\)\(∈N\)\({\,\!}^{*}\)，\(a\)\({\,\!}_{1}\)\(=\)\(2\)．

\((1)\)证明：数列\(\{\)\(a_{n}-\)\(1\}\)是等比数列，并求数列\(\{\)\(a_{n}\)\(\}\)的通项公式\(;\)

\((2)\)设\(b_{n}=\)\( \dfrac{3n}{{S}_{n}-n+1} (\)\(n\)\(∈N\)\({\,\!}^{*}\)\()\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，证明：\(T_{n} < \)\(6\)．

难度：中等

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