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          共50条信息

            • 1．
              正项数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)满足：\(S_{n}^{2}-(n^{2}+n-1)S_{n}-(n^{2}+n)=0\)
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式\(a_{n}\)；
              \((2)\)令\(b\;_{n}= \dfrac {n+1}{(n+2)^{2}a_{n}^{2}}\)，数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}.\)证明：对于任意\(n∈N^{*}\)，都有\(T\;_{n} < \dfrac {5}{64}\)．
              难度：较易
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            • 2．
              已知数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=-1\)，\(a_{n+1}=2a_{n}+3n-1(n∈N^{*})\)，则其前\(n\)项和\(S_{n}=\) ______ ．
              难度：较易
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            • 3．
              在等差数列\(\{a_{n}\}\)中，\(a_{2}+a_{7}=-23\)，\(a_{3}+a_{8}=-29\)
              \((1)\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((2)\)设数列\(\{a_{n}+b_{n}\}\)是首项为\(1\)，公比为\(2\)的等比数列，求\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)．
              难度：较易
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            • 4．
              已知二次函数\(f(x)= \dfrac {1}{3}x^{2}+ \dfrac {2}{3}x.\)数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，点\((n,S_{n})(n∈N^{*})\)在二次函数\(y=f(x)\)的图象上．
              \((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(b_{n}=a_{n}a_{n+1}\cos [(n+1)π](n∈N^{*})\)，数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(T_{n}\)，若\(T_{n}\geqslant tn^{2}\)对\(n∈N^{*}\)恒成立，求实数\(t\)的取值范围；
              \((\)Ⅲ\()\)在数列\(\{a_{n}\}\)中是否存在这样一些项：\(a\;_{n_{1}}\)，\(a\;_{n_{2}}\)，\(a\;_{n_{3}}\)，\(…\)，\(a\;_{n_{k}}\)这些项都能够
              构成以\(a_{1}\)为首项，\(q(0 < q < 5)\)为公比的等比数列\(\{a\;_{n_{k}}\}\)？若存在，写出\(n_{k}\)关于\(f(x)\)的表达式；若不存在，说明理由．
              难度：中等
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            • 5．
              正项数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且\(2S_{n}=a_{n}^{2}+a_{n}(n∈N^{*})\)，设\(c_{n}=(-1)^{n} \dfrac {2a_{n}+1}{2S_{n}}\)，则数列\(\{c_{n}\}\)的前\(2016\)项的和为\((\)　　\()\)
              A．\(- \dfrac {2015}{2016}\)
              B．\(- \dfrac {2016}{2015}\)
              C．\(- \dfrac {2017}{2016}\)
              D．\(- \dfrac {2016}{2017}\)
              难度：中等
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            • 6．
              如图，是第七届国际数学教育大会\((ICME-7)\)的会徽，它是由一连串直角三角形演化而成的，其中\(OA_{1}=A_{1}A_{2}=A_{2}A_{3}=…=A_{7}A_{8}=1\)，它可以形成近似的等角螺线\(.\)记\(a_{n}=|OA_{n}|\)，\(n=1\)，\(2\)，\(3\)，\(…\)．
              \((1)\)写出数列的前\(4\)项；
              \((2)\)猜想数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式\((\)不要求证明\()\)；
              \((3)\)若数列\(\{b_{n}\}\)满足\(b_{n}= \dfrac {1}{a_{n}+a_{n+1}}\)，试求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}\)．
              难度：中等
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            • 7．
              设各项均为正数的数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，已知数列\(\{ \sqrt {S_{n}}\}\)是首项为\(1\)，公差为\(1\)的等差数列．
              \((\)Ⅰ\()\) 求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅱ\()\)令\(b_{n}= \dfrac {1}{ \sqrt {a_{n}S_{2n+1}}+ \sqrt {a_{n+1}S_{2n-1}}}\)，若不等式\(b_{1}+b_{2}+b_{3}+…+b_{n}\geqslant \dfrac {m}{ \sqrt {2n+1}+1}\)对任意\(n∈N^{*}\)都成立，求实数\(m\)的取值范围．
              难度：较易
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            • 8．
              数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=2a_{n}-3(n∈N^{*})\)，则\(a_{5}=\) ______ ．
              难度：较易
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            • 9．
              在数列\(\{a_{n}\}\)中，其前\(n\)项和为\(S_{n}\)，且满足\(S_{n}=2n^{2}+n(n∈N^{*})\)，则\(a_{n}=\) ______ ．
              难度：难
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            • 10．
              如图，已知点\(D\)为\(\triangle ABC\)的边\(BC\)上一点，\( \overrightarrow{BD}=3 \overrightarrow{DC}\)，\(E_{n}(n∈N_{+})\)为边\(AC\)上的一列点，满足\( \overrightarrow{E_{n}A}= \dfrac {1}{4}a_{n+1} \overrightarrow{E_{n}B}-(3a_{n}+2) \overrightarrow{E_{n}D}\)，其中实数列\(\{a_{n}\}\)中
              \(a_{n} > 0\)，\(a_{1}=1\)，则\(\{a_{n}\}\)的通项公式为\((\)　　\()\)
              A．\(2⋅3^{n-1}-1\)
              B．\(2^{n}-1\)
              C．\(3^{n}-2\)
              D．\(3⋅2^{n-1}-2\)
              难度：中等
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