知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ =（2sin（x+ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B6%7D$ ），-2）， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ =（2， $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B2%7D$ -2cosx）．
（Ⅰ）若 $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ ⊥ $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ，求sin（x+ $%20%5Cfrac%20%7B4%CF%80%7D%7B3%7D$ ）的值；
（Ⅱ）设f（x）= $%20%5Coverrightarrow%20%7Ba%7D$ • $%20%5Coverrightarrow%20%7Bb%7D$ ，若x∈[0，π]，求f（x）的值域．

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2．关于函数f（x）=cos（2x- $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ ）+cos（2x+ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B6%7D$ ），则下列命题：
①y=f（x）的最大值为 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ；
②y=f（x）最小正周期是π；
③y=f（x）在区间（ $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B24%7D$ ， $%20%5Cfrac%20%7B13%CF%80%7D%7B24%7D$ ）上是减函数；
④将函数y= $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ cos2x的图象向右平移 $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B24%7D$ 个单位后，将与已知函数的图象重合．
其中正确命题的序号是 ______ ．

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3．已知向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D%3D%282cos%CF%89x%EF%BC%8C-1%29%EF%BC%8C%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D%3D%28sin%CF%89x-cos%CF%89x%EF%BC%8C2%29$ （ω＞0），函数f（x）= $%20%5Coverrightarrow%20%7Bm%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7Bn%7D%2B3$ ，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为 $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D$ ．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若将函数f（x）的图象先向左平移 $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ 个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ 倍，得到函数g（x）的图象，当 $x%E2%88%88%5B%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D%5D$ 时，求函数g（x）的值域．

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4．已知函数 $f%28x%29%3D4cos%CF%96x%5Ccdot%20sin%28%CF%96x%2B%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D%29%28%CF%96%EF%BC%9E0%29$ 的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）讨论f（x）在区间[0， $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D$ ]上的单调性．

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5．已知 $tan2%CE%B8%3D-2%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ， $%CE%B8%E2%88%88%28%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D%29$ ．
（1）求tanθ的值；
（2）求 $%20%5Cfrac%20%7B2cos%5E%7B2%7D%20%5Cfrac%20%7B%CE%B8%7D%7B2%7D-sin%CE%B8-1%7D%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7Dsin%28%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D%2B%5Ctheta%20%29%7D$ 的值．

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6．求证： $%20%5Cfrac%20%7Bsin%282%CE%B1%2B%CE%B2%29%7D%7Bsin%5Calpha%20%7D$ -2cos（α+β）= $%20%5Cfrac%20%7Bsin%CE%B2%7D%7Bsin%5Calpha%20%7D$ ．

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7．已知函数f（x），g（x）满足关系 $g%28x%29%3Df%28x%29%5Ccdot%20f%28x%2B%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D%29$ ，
（1）设f（x）=cosx+sinx，求g（x）的解析式；
（2）当f（x）=|sinx|+cosx时，存在x₁，x₂∈R，对任意x∈R，g（x₁）≤g（x）≤g（x₂）恒成立，求|x₁-x₂|的最小值．

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8．若函数y=sin3x+acos3x的图象关于 $x%3D-%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B9%7D$ 对称，则a= ______ ．

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9．关于x的方程cos²x+sinx+a=0在 $x%E2%88%88%280%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D%5D$ 上有解，则a的取值范围是 ______ ．

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10．函数f（x）=2sin²x-sin（2x- $%20%5Cfrac%20%7B5%CF%80%7D%7B6%7D$ ），x∈R．
（I）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；
（Ⅱ）若锐角θ满足tanθ=2 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，求f（θ）的值．

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