知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且AB=1，D₁D=
2

（1）求证：AC⊥平面BB₁D₁D
（2）求四棱锥D₁-ABCD的体积．

难度：中等

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2．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为DD₁的中点，且AB=2，
（ 1 ）求证：BD₁∥面AEC；
（2）求三棱锥C-ADE的体积．

难度：中等

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3．（2015秋•北京校级期中）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD．E，F分别为底边AB和侧棱PC的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：EF⊥FD．

难度：中等

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4．（2015秋•淮南期中）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示．
（1）求证：BC⊥平面ACD；
（2）求点C到平面ABD的距离．

难度：较难

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5．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=
2
，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求这个四棱锥的体积．

难度：中等

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6．如图1所示，在边长为12的正方形AA′A′₁A₁中，点B，C在线段AA′上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分别交A₁A₁′、AA₁′于点B₁、P，作CC₁∥AA₁，分别交A₁A₁′、AA₁′于点C₁、Q，将该正方形沿BB₁、CC₁折叠，使得A′A1′与AA₁重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．

（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求证：AB⊥平面BCC₁B₁；
（2）求平面APQ将三棱柱ABC-A₁B₁C₁分成上、下两部分几何体的体积之比；
（3）试判断直线AQ是否与平面A₁C₁P平行，并说明理由．

难度：中等

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7．已知在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、E、F、N分别是A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁的中点．求证：
（1）EF∥平面ABCD；
（2）平面AMN∥平面EFDB．

难度：中等

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8．（2015秋•邯郸校级期中）已知直棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠ACB=60°，AC=BC=4，AA₁=6，E、F分别是棱CC₁、AB的中点．
（1）求证：平面 AEB₁⊥平面AA₁B₁B；
（2）求四棱锥A-ECBB₁的体积．

难度：中等

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9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，E是棱PA的中点，PD⊥BC，求证：
（Ⅰ）PC∥平面BED；
（Ⅱ）BC⊥PC．

难度：中等

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