知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F（1，0）的距离和它到定直线x=2的距离比是
2
2
．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设过点Q（
2
3
，0）的直线l与曲线C交于点M，N，求证：点A（
2
，0）在以MN为直经的圆上．

难度：中等

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2．（2016•闵行区二模）已知椭圆Г：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O为坐标原点；
（1）求椭圆Г的方程；
（2）设点A在椭圆Г上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求证：
1
OA2
+
1
OB2
为定值；
（3）设点C在椭圆Г上运动，OC⊥OD，且点O到直线CD的距离为常数
3
，求动点D的轨迹方程．

难度：中等

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3．已知椭圆C的焦点在x轴上，离心率等于
2
5
5
，且过点（1，
2
5
5
）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若
MA
=λ₁
AF
，
MB
=λ₂
BF
，求证：λ₁+λ₂为定值．

难度：中等

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4．已知椭圆E：
x2
b2
+
y2
a2
=1（a＞b＞0），离心率为
2
2
，且过点A（-1，0）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）若椭圆E的任意两条互相垂直的切线相交于点P，证明：点P在一个定圆上．

难度：较难

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5．过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B，所作割线交圆于C，D两点，C在P，D之间，在弦CD上取一点Q，使∠DAQ=∠PBC．求证：∠DBQ=∠PAC．

难度：中等

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6．已知抛物线：y²=2px，直线AB，CD过焦点F，与抛物线交于A，B，C，D，且AB⊥CD，∠AOB=90°．求证：
1
FA•
FB
+
1
FC
•
FD
为定值．

难度：中等

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7．已知两条直线方程：l₁：ax-y+6=0，l₂：x+ay-4=0
（1）求证：l₁与l₂的交点总在同一个圆C上．
（2）求证：无论a取何值，直线l：（a+1）x-（2a-1）y+6a-9=0恒过定点．

难度：中等

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8．已知：圆C₁，C₂相交，且AB分别切圆C₁，C₂于A，B两点，求证：圆C₁，C₂的公共弦所在直线平分线段AB．

难度：中等

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9．已知点A、B、C的坐标分别为A（3，-2，-1），B（-1，-3，2），C（-5，-4，5），求证：A，B，C三点共线．

难度：较易

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10． P，Q，R顺次为△ABC中BC，CA，AB三边的中点，求证圆ABC在A点的切线与圆PQR在P点的切线平行．

难度：较难

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