知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，点M在AD上，且AM= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ AD．将△AED，△DCF分别沿DE，DF折叠使A，C点重合于点P，如图2所示．

（1）试判断PB与平面MEF的位置关系，并给出证明；
（2）求二面角M-EF-D的余弦值．

难度：易

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2．如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．
（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；
（2）求二面角A-BE-C的余弦值．

难度：易

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3．

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中， $AB%3DAC%3D%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ， $AA_%7B1%7D%3D%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，则面AB₁C与面ABCD所成角的为（　　）

A． $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B6%7D$

B． $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$

C． $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$

D． $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D$

难度：易

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4．如图，在四棱锥S-ABCD中底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，M为棱SB上的点，SA=AB=BC=2，AD=1
（1）当SM=2MB时，求平面AMC与平面SAB所成的锐二面角的余弦值；
（2）在第（1）问条件下，设点N是线段CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求当sinθ取最大值时点N的位置．

难度：易

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5．如图，四棱锥$S-ABCD$的底面是正方形，$SD⊥$平面$ABCD$，$SD=2a$，$AD= \sqrt {2}a$，点$E$是$SD$上的点，且$DE=λa(0 < λ\leqslant 2)$
$($Ⅰ$)$求证：对任意的$λ∈(0,2)$，都有$AC⊥BE$
$($Ⅱ$)$设二面角$C-AE-D$的大小为$θ$，直线$BE$与平面$ABCD$所成的角为$φ$，若$\tan θ⋅\tan φ=1$，求$λ$的值．

难度：易

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6．
如图，四棱锥$S-ABCD$的底面是正方形，$SD⊥$平面$ABCD$，$SD=AD=a$，点$E$是$SD$上的点，且$DE=λ(0 < λ\leqslant 1)$．
$(1)$求证：对任意的$λ∈(0,1]$，都有$AC⊥BE$；
$(2)$若二面角$C-AE-D$的大小为$60^{\circ}$，求$λ$的值．

难度：易

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7．
如图，在矩形$ABCD$中，点$E$为边$AD$上的点，点$F$为边$CD$的中点，$AB=AE= \dfrac {2}{3}AD$，现将$\triangle ABE$沿$BE$边折至$\triangle PBE$位置，且平面$PBE⊥$平面$BCDE$．
$($Ⅰ$)$求证：平面$PBE⊥$平面$PEF$；
$($Ⅱ$)$ 求二面角$E-PF-C$的大小．

难度：易

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8．
如图，在四棱柱$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，侧面$ADD_{1}A_{1}⊥$底面$ABCD$，$D_{1}A=D_{1}D= \sqrt {2}$，底面$ABCD$为直角梯形，其中$BC/\!/AD$，$AB⊥AD$，$AD=2AB=2BC=2$，$O$为$AD$中点．
$($Ⅰ$)$求证：$A_{1}O/\!/$平面$AB_{1}C$；
$($Ⅱ$)$求锐二面角$A-C_{1}D_{1}-C$的余弦值．

难度：易

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