知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，在直四棱柱\(ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\)中，底面\(ABCD\)为等腰梯形，\(AB/\!/CD\)，\(AB=4\)，\(BC=CD=2\)，\(A{{A}_{1}}=2\)，\(E,{E}_{1},F \)分别是棱\(AD,A{A}_{1},AB \)的中点\(.\)证明：直线\(E{{E}_{1}}/\!/\)平面\(FC{{C}_{1}}\)．

　

难度：易

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2．

如图，在三棱柱\(ABC−{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)中，侧面\(AB{{B}_{1}}{{A}_{1}}\)是矩形，\(∠BAC=90^{\circ}\)，\(A{{A}_{1}}⊥BC\)，\(A{{A}_{1}}=AC=2AB=4\)，且\(B{{C}_{1}}⊥{{A}_{1}}C\)．

\((1)\)求证：平面\(AB{{C}_{1}}⊥\)平面\({{A}_{1}}AC{{C}_{1}}\)；

\((2)\)设\(D\)是\({{A}_{1}}{{C}_{1}}\)的中点，判断并证明在线段\(B{{B}_{1}}\)上是否存在点\(E\)，使得\(DE/\!/\)平面\(AB{{C}_{1}}.\)若存在，求二面角\(E−A{{C}_{1}}−B\)的余弦值．

难度：易

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3．
如图所示，三棱锥 \(D-ABC\) 中，\(AC\)，\(BC\)，\(CD\) 两两垂直，\(AC=CD=1\)，\(BC= \sqrt{3} \)，点 \(O\) 为 \(AB\) 中点．

\((1)\)若过点 \(O\) 的平面\(α \) 与平面 \(ACD\) 平行，分别与棱 \(DB\)，\(CB\) 相交于 \(M\)，\(N\)，在图中画出该截面多边形，并说明 \(M\)，\(N\) 的距离\((\)不要求证明\()\)；

\((2)\)求点 \(C\) 到平面 \(ABD\) 的距离．

难度：易

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4．
如图，\(⊙O\)在平面\(α \)内，\(AB\)是\(⊙O\)的直径，\(PA⊥\)平面\(α \)，\(C\)为圆周上不同于\(A\)、\(B\)的任意一点，\(M\)，\(N\)，\(Q\)分别是\(PA\)，\(PC\)，\(PB\)的中点．

\((1)\)求证：\(MN/\!/\)平面\(α \)；

\((2)\)求证：平面\(MNQ/\!/\)平面\(α \)；

难度：易

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5．

在正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(M\)、\(N\)、\(P\)分别是\(AD_{1}\)、\(BD\)和\(B_{1}C\)的中点．

求证：\((\)Ⅰ\()MN\)平面\(CC_{1}D_{1}D\)；
\((\)Ⅱ\()\)平面\(MNP\)平面\(CC_{1}D_{1}\)D.

难度：易

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6．正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，点\(F\)为\(A_{1}D\)的中点．
\((1)\)求证：\(A_{1}B/\!/\)平面\(AFC\)；
\((2)\)求证：平面\(A_{1}B_{1}CD⊥\)平面\(AFC\)．

难度：易

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7．
如图，在直四棱柱\(ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，底面是正方形，\(E\)，\(F\)，\(G\)分别是棱\(B_{1}B\)，\(D_{1}D\)，\(DA\)的中点．

求证：\((1)\)平面\(AD_{1}E/\!/\)平面\(BGF\)；\((2) D_{1}E⊥AC\)．

难度：易

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8．
如图，在三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，侧面\(ABB_{1}A_{1}\)是矩形，\(∠BAC=90^{\circ}\)，\(AA_{1}⊥BC\)，\(AA_{1}=AC=2AB=4\)，且\(BC_{1}⊥A_{1}\)C.

\((1)\)求证：平面\(ABC_{1}⊥\)平面\(A_{1}ACC_{1}\)；

\((2)\)设\(D\)是\(A_{1}C_{1}\)的中点，判断并证明在线段\(BB_{1}\)上是否存在点\(E\)，使得\(DE/\!/\)平面\(ABC_{1}.\)若存在，求二面角\(E-AC_{1}-B\)的余弦值．

难度：易

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9．
如图\(AB\)是圆\(O\)的直径，\(PA\)垂直圆\(O\)所在的平面，\(C\)是圆\(O\)上的点．

\((1)\)求证：\(BC⊥平面PAC \)

\((2)\)设\(Q\)为\(PA\)的中点，\(G\)为\(\Delta {AOC}\)的重心，求证：\(平面OGQ/\!/平面PBC \)

难度：易

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