知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax，a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）在[-1，3]上的零点个数；
（Ⅱ）若对于任意的a∈[-3，0]，任意的x₁，x₂∈[0，2]，不等式m-am²≥|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，求实数m的取值范围．

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2．已知函数f（x）=x²+2x-a与g（x）=2x+2lnx（ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Be%7D$ ≤x≤e）的图象有两个不同的交点，则实数a的取值范围是（　　）

A．（1， $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Be%5E%7B2%7D%7D$ +2]

B．[ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Be%5E%7B2%7D%7D$ +2，e²-2]

C．（1，e²-2]

D．[e²-2，+∞）

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3．已知函数f（x）=ax³-3x²+1有且只有一个零点x₀，且x₀＜0，则实数a的范围为 ______ ．

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4．已知f（x）= $%20%5Cfrac%20%7B1%2B2lnx%7D%7Bx%5E%7B2%7D%7D$ ．
（1）求f（x）的最大值；
（2）令g（x）=ax²-2lnx，当x＞0时，f（x）的最大值为M，g（x）=M有两个不同的根，求a的取值范围；
（3）存在x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁≠x₂，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥k|lnx₁-lnx₂|成立，求k的取值范围．

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5．把边长为a的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后，用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器（不计接缝），设容器的高为x，容积为V（x）．
（Ⅰ）写出函数V（x）的解析式，并求出函数的定义域；
（Ⅱ）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积．

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6．某厂生产产品x件的总成本c（x）=1200+ $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B75%7D$ x³（万元），已知产品单价P（万元）与产品件数x满足：p²= $%20%5Cfrac%20%7Bk%7D%7Bx%7D$ ，生产100件这样的产品单价为50万元．
（1）设产量为x件时，总利润为L（x）（万元），求L（x）的解析式；
（2）产量x定为多少件时总利润L（x）（万元）最大？并求最大值（精确到1万元）．

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7．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品的零售价定为p元，则销售量Q（单位：件）与零售价p（单位：元）有如下关系Q=8300-170p-p²．问该商品零售价定为多少元时，毛利润L最大，并求出最大毛利润．

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8．已知函数f（x）=（x²-x- $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba%7D$ ）e^ax（a≠0）．
（Ⅰ）当a= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ 时，求函数f（x）的零点；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a＞0时，若f（x）+ $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7Ba%7D$ ≥0对x∈R恒成立，求a的取值范围．

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9．已知函数f（x）=e^x-ax²-bx-1（a，b∈R，e为自然对数的底数）．
（1）若对任意a∈[0，1]，总存在x∈[1，2]，使得f（x）≤0成立，求b的最小值；
（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．

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10．在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含3个方面：
①下潜时，平均速度为v（米/单位时间），单位时间内用氧量为cv²（c为正常数）；
②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；
③返回水面时，平均速度为 $%20%5Cfrac%20%7Bv%7D%7B2%7D$ （米/单位时间），单位时间用氧量为0.2．记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为y．
（1）将y表示为v的函数；
（2）设0＜v≤5，试确定下潜速度v，使总的用氧量最少．

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