知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）是定义在[-e，0]∪（0，e]上的奇函数，当x∈[-e，0）时，有f（x）=ax-ln（-x）（其中e为自然对数的底，a∈R）．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）试问是否存在实数a，使得当x∈（0，e]时，f（x）的最大值是2？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由．

难度：难

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2．关于x的方程x³-3x²-a=0有三个不同的实数解，则a的取值范围是（　　）

A．（-4，0）

B．（-∞，0）

C．（1，+∞）

D．（0，1）

难度：难

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3．设函数f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值点．

难度：难

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4．已知函数f（x）=e^x-x²+a，x∈R，曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=bx．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈R时，求证：f（x）≥-x²+x；
（3）若f（x）≥kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．

难度：难

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5．已知函数f（x）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ax²+lnx，g（x）=-bx，其中a，b∈R，设h（x）=f（x）-g（x），
（1）若f（x）在x= $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ 处取得极值，且f′（1）=g（-1）-2．求函数h（x）的单调区间；
（2）若a=0时，函数h（x）有两个不同的零点x₁，x₂
①求b的取值范围；
②求证： $%20%5Cfrac%20%7Bx_%7B1%7Dx_%7B2%7D%7D%7Be%5E%7B2%7D%7D$ ＞1．

难度：难

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6．已知函数f（x）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dx%5E%7B2%7D$ +alnx，若对任意两个不等的正实数x₁，x₂都有 $%20%5Cfrac%20%7Bf%28x%C2%A0_%7B1%7D%29-f%28x_%7B2%7D%29%7D%7Bx_%7B1%7D-x_%7B2%7D%7D$ ＞2恒成立，则实数a的取值范围是 ______ ．

难度：难

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7．已知函数f（x）=x³-ax²+10．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）在区间[1，2]内存在实数x，使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．

难度：难

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8．已知函数f（x）=xlnx+ax²-3，且f'（1）=-1，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）-mx≤-3，求m的最小值；
（3）证明：函数y=f（x）-xe^x+x²的图象在直线y=-2x-3的下方．

难度：难

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9．函数f（x）=x³-3x²+2在区间[-1，1]上最大值为M，最小值为m，则M-m的值为（　　）

A．2

B．-4

C．4

D．-2

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10．设定义在R上的奇函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，a，b，c，d∈R．当x=-1时，f（x）取得极大值
2
3
．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）判断函数y=f（x）的图象上是否存在两点，使得以这两点为切点的切线互相垂直，且切
点的横坐标在区间[-
2
，
2
]上，并说明理由；
（3）设x_n=1-2^-n，y_m=
2
（3^-m-1）（m，n∈N*），求证：|f（x_n）-f（y_m）|＜
4
3
．

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