知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图所示，直立在地面上的两根钢管AB和CD，AB=10 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ m，CD=3 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ m，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法：
（1）如图（1）设两根钢管相距1m，在AB上取一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F处，形成一个直线型的加固（图中虚线所示）．则BE多长时钢丝绳最短？
（2）如图（2）设两根钢管相距3 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ m，在AB上取一点E，以C为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的F 处，再将钢丝绳依次固定在D处、B处和E处，形成一个三角形型的加固（图中虚线所示）．则BE 多长时钢丝绳最短？

难度：较易

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2．经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送（满载）到相距400km的水果批发市场．据测算，J型卡车满载行驶时，每100km所消耗的燃油量u（单位：L）与速度v（单位：km/h）的关系近似地满足u= $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Coverset%7B%20%5Cfrac%20%7B100%7D%7Bv%7D%2B23%2C0%3Cv%5Cleq%2050%7D%7B%20%5Cfrac%20%7Bv%5E%7B2%7D%7D%7B500%7D%2B20%2Cv%3E50%7D%5Cend%7Bcases%7D$ 除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元．已知燃油价格为每升（L）7.5元．
（1）设运送这车水果的费用为y（元）（不计返程费用），将y表示成速度v的函数关系式；
（2）卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？

难度：较易

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3．据统计某种汽车的最高车速为120千米∕时，在匀速行驶时每小时的耗油量y（升）与行驶速度y（千米∕时）之间有如下函数关系： $y%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B128000%7Dx%5E%7B3%7D-%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B80%7Dx%2B8$ ．已知甲、乙两地相距100千米．
（Ⅰ）若汽车以40千米∕时的速度匀速行驶，则从甲地到乙地需耗油多少升？
（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

难度：较易

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4．已知函数f（x）=x²+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ x²-4x．
（1）求f′（x）；
（2）求函数在区间[-2，2]上的最值．

难度：较易

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5． $f%28x%29%3D%20%5Csqrt%20%7B2%7Dsin%28x%2B%CF%86%29-a%2Be%5E%7B-x%7D$ ， $%CF%86%E2%88%88%280%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D%29$ ，已知f（x）的图象在（0，f（0））处的切线与x轴平行或重合．
（1）求φ的值；
（2）若对∀x≥0，f（x）≤0恒成立，求a的取值范围；
（3）利用如表数据证明： $%20%5Csum%5Climits_%7Bk%3D1%7D%5E%7B157%7Dsin%20%5Cfrac%20%7Bk%CF%80%7D%7B314%7D%EF%BC%9C106$ ．
$e%5E%7B%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B314%7D%7D$ $e%5E%7B-%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B314%7D%7D$ $e%5E%7B%20%5Cfrac%20%7B78%CF%80%7D%7B314%7D%7D$ $e%5E%7B-%20%5Cfrac%20%7B78%CF%80%7D%7B314%7D%7D$ $e%5E%7B%20%5Cfrac%20%7B79%CF%80%7D%7B314%7D%7D$ $e%5E%7B-%20%5Cfrac%20%7B79%CF%80%7D%7B314%7D%7D$
1.010 0.990 2.182 0.458 2.204 0.454

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6．已知函数f（x）= $%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Bx%7D$ +lnx-3有两个零点x₁，x₂（x₁＜x₂）
（Ⅰ）求证：0＜a＜e²
（Ⅱ）求证：x₁+x₂＞2a．

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7．已知函数f（x）=x³-3x．
（Ⅰ）求函数f（x）在[-2，1]上的最大值和最小值．
（Ⅱ）过点P（2，-6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程．

难度：较易

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8．已知f（x）=（x²-4）（x-a），其中a∈R．
（1）求f′（x）；
（2）若f′（-1）=0，求f（x）在[-2，4]上的最大值．

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9．已知函数f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，若f′（x）是偶函数，且f′（1）=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对于区间[1，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂，都有|g（x₁）-g（x₂）|≤c，其中g（x）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ f（x）-6lnx，求实数c的最小值；
（3）若过点M（2，m），能作曲线y=xf（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

难度：较易

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10．已知f（x）=lnx， $g%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dx%5E%7B2%7D%2Bmx%2B%20%5Cfrac%20%7B7%7D%7B2%7D%28m%EF%BC%9C0%29$ ，直线l与函数f（x）、g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象的切点的横坐标为1．
（Ⅰ）求直线l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值；
（Ⅲ）若ln（x+1）＜x+c对任意x都成立，求实数c的取值范围．

难度：较易

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$e%5E%7B%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B314%7D%7D$	$e%5E%7B-%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B314%7D%7D$	$e%5E%7B%20%5Cfrac%20%7B78%CF%80%7D%7B314%7D%7D$	$e%5E%7B-%20%5Cfrac%20%7B78%CF%80%7D%7B314%7D%7D$	$e%5E%7B%20%5Cfrac%20%7B79%CF%80%7D%7B314%7D%7D$	$e%5E%7B-%20%5Cfrac%20%7B79%CF%80%7D%7B314%7D%7D$
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