知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数 $f%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7Dx%5E%7B3%7D-ax%5E%7B2%7D%2Bbx$ （a，b∈R），f′（0）=f′（2）=1．
（1）求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（2）若函数g（x）=f（x）-4x，x∈[-3，2]，求g（x）的单调区间和最小值．

难度：较易

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2．已知函数f（x）=x²-（2a+1）x+alnx，a∈R
（1）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线垂直于y轴，求实数a的值；
（2）试讨论函数f（x）的单调区间；
（3）若x＞1时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较易

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3．已知函数f（x）=lnx-a（a∈R）与函数 $F%28x%29%3Dx%2B%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7Bx%7D$ 有公共切线．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）若不等式xf（x）+e＞2-a对于x＞0的一切值恒成立，求a的取值范围．

难度：较易

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4．已知函数 $f%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7Bmx%7D%7Blnx%7D$ ，曲线y=f（x）在点（e²，f（e²））处的切线与直线2x+y+2=0垂直（其中e为自然对数的底数）．
（1）求f（x）的解析式及函数y=f（x）的单调区间；
（2）是否存在常数k，使得对于定义域内的任意x， $f%28x%29%EF%BC%9E%20%5Cfrac%20%7Bk%7D%7Blnx%7D%2B2%20%5Csqrt%20%7Bx%7D$ 恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

难度：较易

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5．已知函数f（x）=lnx-x．
（1）求f（x）的单调区间及最大值；
（2）若数列{a_n}的通项公式为 $a_%7Bn%7D%3D1%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%5E%7Bn%7D%7D%28n%E2%88%88N%5E%7B*%7D%29$ ，试结合（1）中有关结论证明：a₁•a₂•a₃…a_n＜e（e为自然对数的底数）．

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6．已知 $f%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7Dx%5E%7B3%7D-4x%2B4$ ，
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）求函数f（x）在x∈[0，4]的最小值．

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7．已知函数f（x）=lnx-a（a∈R）与函数F（x）=x+ $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7Bx%7D$ 的图象没有交点．
（1）求a的取值范围；
（2）若不等式xf（x）+e＞2-a对于x＞0的一切值恒成立，求正数a的取值范围．

难度：较易

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8．已知函数f（x）=axlnx+bx（a≠0）在（1，f（1））处的切线与x轴平行，
（1）试讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）若存在a∈（e，+∞），对任意的 $x_%7B1%7D%EF%BC%8Cx_%7B2%7D%E2%88%88%5B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7De%EF%BC%8C3e%5D$ 都有|f（x₁）-f（x₂）|＜（m+eln3）a+3e成立，求实数m的取值范围．（e=2.71828…）

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9．已知函数f（x）=（x+1）lnx-ax+a（a为常数，且为正实数）．
（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（2）若不等式（x-1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

难度：较易

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10．已知函数f（x）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dx%5E%7B2%7D$ +ax+2lnx，g（x）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7Dx%5E%7B2%7D$ +kx+（2-x）lnx-k，k∈Z．
（1）当a=-3时，求f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，若对任意x＞1，都有g（x）＜f（x）成立，求k的最大值．

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