知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知函数\(f(x)=2x^{2}-3x-\ln x+e^{x-a}+4e^{a-x}\)，其中\(e\)为自然对数的底数，若存在实数\(x_{0}\)使\(f(x_{0})=3\)成立，则实数\(a\)的值为 ______ ．

难度：较易

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2．
已知函数\(f(x)= \dfrac {\ln x}{x+a}\)．
\((I)\)当\(a=0\)时，求函数\(f(x)\)的单调递增区间；
\((\)Ⅱ\()\)当\(a > 0\)时，若函数\(f(x)\)的最大值为\( \dfrac {1}{e^{2}}\)，求\(a\)的值．

难度：较易

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3．
已知函数\(f(x)=(x-1)e^{x}-ax^{2}(e\)是自然对数的底数\()\)．
\((\)Ⅰ\()\)判断函数\(f(x)\)极值点的个数，并说明理由；
\((\)Ⅱ\()\)若\(∀x∈R\)，\(f(x)+e^{x}\geqslant x^{3}+x\)，求\(a\)的取值范围．

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4．
对于定义在区间\(D\)上的函数\(f(x)\)，若存在正整数\(k\)，使不等式\( \dfrac {1}{k} < f(x) < k\)恒成立，则称\(f(x)\)为\(D(k)\)型函数．
\((1)\)设函数\(f(x)=a|x|\)，定义域\(D=[-3,-1]∪[1,3].\)若\(f(x)\)是\(D(3)\)型函数，求实数\(a\)的取值范围；
\((2)\)设函数\(g(x)=e^{x}-x^{2}-x\)，定义域\(D=(0,2).\)判断\(g(x)\)是否为\(D(2)\)型函数，并给出证明\(.(\)参考数据：\(7 < e^{2} < 8)\)

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5．
已知\(f(x)=|2x+1|+|x-1|\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(f(x)\)在\([-1,1]\)上的最大值\(m\)及最小值\(n\)；
\((\)Ⅱ\()\)在\((\)Ⅰ\()\)的条件下，设\(a\)，\(b∈R\)，且\(am+bn=1\)，求证：\(a^{2}+b^{2}\geqslant \dfrac {4}{45}\)．

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6．
已知函数\(f(x)= \dfrac {4 \sqrt {x}-3}{e^{2x}}\)，\(g(x)=- \dfrac {1}{2}x^{2}+ax\)．
\((I)\)若\(y=f(x)\)在\(x=1\)处的切线与\(y=g(x)\)也相切，求\(a\)的值；
\((II)\)若\(a=1\)，求函数\(y=f(x)+g(x)\)的最大值．

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7．
若正项递增等比数列\(\{a_{n}\}\)满足\(1+(a_{2}-a_{4})+λ(a_{3}-a_{5})=0(λ∈R)\)，则\(a_{8}+λa_{9}\)的最小值为 ______ ．

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8．

已知函数\(f(x)=\ln (e^{x}+e^{-x})+x^{2}\)，则使得\(f(2x) > f(x+3)\)成立的\(x\)的取值范围是\((\)　　\()\)

A．\((-1,3)\)

B．\((-∞,-3)∪(3,+∞)\)

C．\((-3,3)\)

D．\((-∞,-1)∪(3,+∞)\)

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9．
已知函数\(f(x)= \dfrac {\ln x}{x}\)，\(g(x)=x(\ln x- \dfrac {ax}{2}-1)\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(y=f(x)\)的最大值；
\((\)Ⅱ\()\)当\(a∈[0, \dfrac {1}{e}]\)时，函数\(y=g(x)\)，\((x∈(0,e])\)有最小值\(.\) 记\(g(x)\)的最小值为\(h(a)\)，求函数\(h(a)\)的值域．

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10．
设函数\(f(x)=2a\ln x-x^{2}+a\)．
\((I)\)讨论函数\(f(x)\)的单调性；
\((II)\)若函数\(f(x)\)在定义域内恒有\(f(x)\leqslant 0\)，求实数\(a\)的取值范围．

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