知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=2lnx+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx%7D$ -mx（m∈R）．
（Ⅰ）当m=-1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）上为单调递减，求m的取值范围；
（Ⅲ）设0＜a＜b，求证： $%20%5Cfrac%20%7Blnb-lna%7D%7Bb-a%7D%EF%BC%9C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%20%7Bab%7D%7D$ ．

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2．设f（x）=ln x，g（x）=f（x）+f′（x），求g（x）的单调区间和最小值．

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3．已知函数f（x）=lnx-ax．其中a为非零常数．
（1）求a=1时，f（x）的单调区间；
（2）设b∈R，若f（x）≤b-a对x＞0恒成立，求 $%20%5Cfrac%20%7Bb%7D%7Ba%7D$ 的最小值．

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4．已知函数f（x）=ax²-x-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=1时，证明：（x-1）（x²lnx-f（x））≥0．

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5．设函数f（x）=e^mx+x²-mx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若对于任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有f（x₁）-f（x₂）≤e-1，求m的取值范围．

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6．已知函数f（x）=lnx-kx+1．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（3）证明： $%20%5Cfrac%20%7Bln2%7D%7B3%7D%2B%20%5Cfrac%20%7Bln3%7D%7B4%7D%2B%E2%80%A6%2B%20%5Cfrac%20%7Blnn%7D%7Bn%2B1%7D%EF%BC%9C%20%5Cfrac%20%7Bn%28n-1%29%7D%7B4%7D%28n%E2%88%88N_%7B%2B%7D%EF%BC%8Cn%EF%BC%9E1%29$ ．

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7．已知函数f（x）= $%20%5Cfrac%20%7Bex%7D%7Be%5E%7Bx%7D%7D$ ．
（Ⅰ）求函数f（x）极值；
（Ⅱ）若直线y=ax+b是函数f（x）的切线，判断a-b是否存在最大值？若存在求出最大值，若不存在说明理由．
（Ⅲ）求方程f[f（x）]=x的所有解．

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8．已知函数f（x）= $%20%5Cfrac%20%7B1-x%7D%7Bax%7D$ +lnx在（1，+∞）上是增函数，且a＞0．
（1）求a的取值范围；
（2）求函数g（x）=ln（1+x）-x在[0，+∞）上的最大值．

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9．已知a为实数，函数f（x）=alnx+x²-4x．
（1）是否存在实数a，使得f（x）在x=1处取得极值？证明你的结论；
（2）设g（x）=（a-2）x，若∃x₀∈[ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Be%7D$ ，e]，使得f（x₀）≤g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

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10．已知函数f（x）= $%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Bx%7D$ +lnx，g（x）= $%20%5Cfrac%20%7Blnx%7D%7Bx%7D$ ，x∈（0，e]，a∈R
（Ⅰ）若a=1，求f（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）求证：在（I）的条件下，f（x）＞g（x）+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ；
（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是-1？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由．

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