知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=lnx-ax+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2x%7D$ （a∈R）．
（1）当a=- $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$ 时，求函数f（x）的单调区间和极值．
（2）若g（x）=f（x）+a（x-1）有两个零点x₁，x₂，且x₁＜x₂，求证：x₁+x₂＞1．

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2．设函数 $f%28x%29%3Dln%28x%2B1%29-%20%5Cfrac%20%7Bax%7D%7Bx%2B1%7D%28a%E2%88%88R%29$ ．
（Ⅰ）若f（0）为f（x）的极小值，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的最大值．

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3．已知函数 $f%28x%29%3Dlnx%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx%7D$ ．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若方程f（x）=a有两个根x₁，x₂（x₁＜x₂），证明：x₁+x₂＞2．

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4．已知函数 $f%28x%29%3Dln%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2x%7D-ax%5E%7B2%7D%2Bx$ ．
（Ⅰ）当a＞0时，讨论函数f（x）的极值点的个数；
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，证明：f（x₁）+f（x₂）＞3-4ln2．

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5．设f（x）=e^x-2ax-1．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当x≥0时，e^x≥ax²+x+1，求a的取值范围．

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6．已知函数f（x）=e^x-k-x，（x∈R）
（1）当k=0时，若函数f（x）≥m在R上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）试判断当k＞1时，函数f（x）在（k，2k）内是否存在零点．

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7．已知函数f（x）=2x³-ax²+8．
（1）若f（x）＜0对∀x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围；
（2）是否存在整数a，使得函数g（x）=f（x）+4ax²-12a²x+3a³-8在区间（0，1）上存在极小值，若存在，求出所有整数a的值；若不存在，请说明理由．

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8．已知函数f（x）=lnx+ax²-3x，且x=1在处函数取得极值．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若g（x）=x²-2x-1（x＞0）
①证明：g（x）的图象不能在y=f（x）图象的下方；
②证明不等式（2n+1）²＞4ln（n!）恒成立．

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9．已知a＞0，函数f（x）=a²x³-3ax²+2，g（x）=-3ax+3．
（1）若a=1，求函数f（x）的图象在点x=1处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[-1，1]上的极值；
（3）若∃x₀∈（0， $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ]，使不等式f（x₀）＞g（x₀）成立，求a的取值范围．

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10．设函数f（x）=lnx+m（x²-x），m∈R．
（Ⅰ）当m=-1时，求函数f（x）的最值；
（Ⅱ）若函数f（x）有极值点，求m的取值范围．

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