知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．记U={1，2，…，100}，对数列{a_n}（n∈N^*）和U的子集T，若T=∅，定义S_T=0；若T={t₁，t₂，…，t_k}，定义S_T= $a_%7Bt_%7B1%7D%7D$ + $a_%7Bt_%7B2%7D%7D$ +…+ $a_%7Bt_%7Bk%7D%7D$ ．例如：T={1，3，66}时，S_T=a₁+a₃+a₆₆．现设{a_n}（n∈N^*）是公比为3的等比数列，且当T={2，4}时，S_T=30．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：S_T＜a_k+1；
（3）设C⊆U，D⊆U，S_C≥S_D，求证：S_C+S_C∩D≥2S_D．

难度：较易

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2．若f（x）满足对任意的实数a，b都有f（a+b）=f（a）•f（b）且f（1）=2，则 $%20%5Cfrac%20%7Bf%282%29%7D%7Bf%281%29%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7Bf%284%29%7D%7Bf%283%29%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7Bf%286%29%7D%7Bf%285%29%7D$ +…+ $%20%5Cfrac%20%7Bf%282016%29%7D%7Bf%282015%29%7D$ =（　　）

A．1 007

B．1 008

C．2 015

D．2 016

难度：较易

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3．已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）恒成立．若数列{a_n}满足a₁=f（0），且f（a_n+1）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bf%28-2-a_%7Bn%7D%29%7D$ （n∈N^*），则a₂₀₁₈的值为（　　）

A．4033

B．4034

C．4035

D．4036

难度：较易

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4．已知定义在R上的二次函数f（x）满足：f（x）=-x²+bx+c，且f（x）=f（1-x）．对于数列{a_n}，若a₁=0，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}是单调递减数列的充要条件；
（2）求c的取值范围，使数列{a_n}是单调递增数列．

难度：较易

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5．甲虫是行动较快的昆虫之一，如表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：
时间t（s） 1 2 3 … ？ … 60
距离s（cm） 9.8 19.6 29.4 … 49 … ？
（1）你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？
（2）利用建立的模型计算，甲虫1min能爬多远？它爬行49cm需要多长时间？

难度：较易

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6．容器中有纯酒精a（a＞1）升，现倒出1升后用水加满搅匀，并规定“倒出1升后用水加满搅匀”为一次操作，若第n次操作后容器中酒精浓度为a_n，则a_n+1用a_n表示为；数列{a_n}通项公式是．

难度：较易

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7．设{a_n}是无穷数列，令a′k=
ak+ak+1
2
，（k=1，2，…），则称{a′_k}是{a_k}的均值数列．仿此可定义，{a″_k}是{a′_k}的均值数列，且{a″_k}是{a′_k}的第二级均值数列．若{a_k}的各级均值数列都是整数列，则称{a_k}是“好”数列，求证：若{a_k}是“好”数列，则{a_k²}也是“好”数列．

难度：较易

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8．若一个数列各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列，则称这个数列为调和数列，已知数列1，x，y，2是调和数列，则（x，y）为．

难度：较易

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9．甲乙两个工厂今年的产值分别为25000万元、20000万元，如果甲工厂每年增加产值500万元，乙工厂每年增加产值1000万元，那么几年后乙工厂的产值超过甲工厂的产值？

难度：较易

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10．假设从某年开始，每年元旦向银行存款1万元，年利率为4%，求到第11年元旦的本利和（1.04¹⁰=1.408）．

难度：较易

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时间t（s）	1	2	3	…	？	…	60
距离s（cm）	9.8	19.6	29.4	…	49	…	？