知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知数列{a_n}满足条件（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1），且a₂=6，
（1）计算a₁、a₃、a₄，请猜测数列{a_n}的通项公式并用数学归纳法证明；
（2）设b_n=a_n+n（n∈N^*），求 $%20%5Clim_%7Bn%E2%86%92%E2%88%9E%7D%28%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb_%7B2%7D-2%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb_%7B3%7D-2%7D%2B%E2%80%A6%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bb_%7Bn%7D-2%7D%29$ 的值．

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2．已知数列{a_n}是一个首项为a₁，公比q＞0的等比数列，前n项和为S_n，记T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_2n-1，求 $%20%5Clim_%7Bn%E2%86%92%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%20%7BS_%7Bn%7D%7D%7BT_%7Bn%7D%7D$ 的值．

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3． $%20%5Clim_%7Bn%E2%86%92%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%20%7B2n%5E%7B2%7D%2B5%7D%7Bn%5E%7B2%7D-3n%7D$ = ______ ．

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4．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n=a_n-1+3（n≥2，n∈N^*），数列{b_n}满足b_n= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7Da_%7Bn%2B1%7D%7D$ ，n∈N^*，则 $%20%5Clim_%7Bn%E2%86%92%E2%88%9E%7D$ （b₁+b₂+…+b_n） ______ ．

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5．已知等比数列{a_n}的首项为1，公比为q，它的前n项和为S_n；
（1）若S₃=3，S₆=-21，求公比q；
（2）若q＞0，且T_n=a₁+a₃+…+a_2n-1，求 $%20%5Clim_%7Bn%E2%86%92%E2%88%9E%7D$ $%20%5Cfrac%20%7BS_%7Bn%7D%7D%7BT_%7Bn%7D%7D$ ．

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6．已知a＞0，b＞0，若 $%20%5Clim_%7Bn%E2%86%92%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%20%7Ba%5E%7Bn%2B1%7D-b%5E%7Bn%2B1%7D%7D%7Ba%5E%7Bn%7D-b%5E%7Bn%7D%7D%3D5$ ，则a+b的值不可能是（　　）

A．7

B．8

C．9

D．10

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7．已知数列{a_n}满足a_n+1= $%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D-4%7D%7B3%7D$ ，且a₁=2，则 $%20%5Clim_%7Bn%E2%86%92%E2%88%9E%7D$ a_n= ______ ．

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8．对于|q|＜1（q为公比）的无穷等比数列{a_n}（即项数是无穷项），我们定义 $%20%5Coverset%7Blim%7D%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7D$ S_n（其中S_n是数列{a_n}的前n项的和）为它的各项的和，记为S，即S= $%20%5Coverset%7Blim%7D%7Bn%5Crightarrow%20%5Cinfty%20%7D$ S_n= $%20%5Cfrac%20%7Ba_%7B1%7D%7D%7B1-q%7D$ ，则循环小数0. $%20%5Coverset%7B%5Ccdot%20%7D%7B7%7D$ $%20%5Coverset%7B%5Ccdot%20%7D%7B2%7D$ 的分数形式是 ______ ．

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9．已知数列{a_n}满足：a₁=3，a_n+1=9• $%203a_%7Bn%7D%20$ （n≥1），则 $%20%5Clim_%7Bn%E2%86%92%E2%88%9E%7D$ a_n= ______ ．

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10．数列{a_n}满足a_n+1=a_n²-a_n+1，a₁=2．
（1）比较a_n与a_n+2的大小；
（2）证明： $2%5E%7B2%5E%7Bn-1%7D%7D$ ＜a_n+1-1＜2^2ⁿ（n≥2，n∈N^*）；
（3）记S_n= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7B1%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7B2%7D%7D%2B%E2%80%A6%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D$ ，求 $%20%5Clim_%7Bn%E2%86%92%E2%88%9E%7DS_%7Bn%7D$ ．

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