知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

3．按照如下的规律构造数表：
第一行是：2；
第二行是：2+1，2+3：即3，5；
第三行是：3+1，3+3，5+1，5+3，即：4，6，6，8，
…
（即从第二行起将上一行的数的每一项各加1写出，再各项再加3写出），若第n行所有的项的和为a_n；
2
3 5
4 6 6 8
5 7 7 9 7 9 9 11
…
（1）求a₃，a₄，a₅；
（2）试写出a_n+1与a_n的递推关系，并据此求出数列{a_n}的通项公式；
（3）设S_n=
a3
a1a2
+
a4
a2a3
+…+
an+2
anan+1
（n∈N^*），求S_n和
lim
n→∞
S_n的值．

难度：中等

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4．下列命题正确的是（　　）

A．若

lim

n→∞

（a_n•b_n）=a≠0，则

lim

n→∞

a_n≠0且

lim

n→∞

b_n≠0

B．若

lim

n→∞

（a_n•b_n）=0，则

lim

n→∞

a_n=0或

lim

n→∞

b_n=0

C．若无穷数列{a_n}有极限，且它的前n项和为S_n，则

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

a₁+

lim

n→∞

a₂+…+

lim

n→∞

a_n

D．若无穷数列{a_n}有极限，则

lim

n→∞

a_n=

lim

n→∞

a_n+1

难度：中等

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5．已知等比数列{a_n}的首项为1，公比为q（0＜q≤1），它的前n项和为S_n，且T_n=
Sn
Sn+1
，求
lim
n→∞
T_n的值．

难度：中等

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6．若数列{a_n}满足|a_n+1-a_n|=p，当p=
1
2
时，则称{a_n}为“规则数列”；当p=
1
2n
时，则称{a_n}为“收缩数列”，记S_n=a₁+a₂+…+a_n
（1）若{a_n}是首项为2的“规则数列”，求a₂₀₁₆的不同取值个数以及最大值，求使得S_n=0成立的n的最小值
（2）已知{a_n}是首项为3的“规则数列”，求证：a₉₉=52成立的充要条件是数列{a_n}是递增数列；
（3）是否存在首项a₁≥1的“收缩数列”{a_n}，使得
lim
n→∞
S_n存在，若存在，求出极限；若不存在，请说明理．

难度：中等

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7．以下各式当n→∞时，极限值为

的是（　　）

A．

n-2

2n(n+1)

B．

2n2+1

4n+1

C．（

n+1

）

D．

1+4+7+…+(3n-2)

2n2

难度：中等

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8．等比数列{a_n}前n项和为S_n满足
lim
n→∞
S_n=
1
a1
，求a₁的范围．

难度：中等

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9．设a＞0，若
lim
n→∞
1+
1
2
+
1
22
+
1
23
+…+
1
2n-1
1+a+a2+…an-1
≤
1
2
，则a的取值范围是．

难度：中等

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10．
lim
n→∞
1+2n+3n2+…+2004n2003
n2003+2n2002+…+2003n+2004
= ．

难度：中等

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