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          共50条信息

            • 1． 对数列{an}，{bn}，若对任意的正整数n，都有[an+1，bn+1]⊊[an，bn]且
              lim
              n→∞
              (bn-an)=0              ，则称[a1，b1]，[a2，b2]，…为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（　　）
              A．an=
              n
              n+1
              ，bn=
              2n+1
              n
              B．an=
              n
              n+1
              ，bn=
              n+2
              n+3
              C．an=(
              1
              2
              )n，bn=(
              2
              3
              )n
              D．an=1-(
              1
              2
              )n，bn=1+(
              1
              3
              )n
              难度：较难
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            • 2． 若无穷等比数列{an}的各项和为3，则首项a1的取值范围为    ．
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            • 3． （文）在数列{an}中，a1=2，且对任意大于1的正整数n，点（
              		an
              ，
              		an-1
              ）在直线y=x-
              		2
              上，则
              lim
              n→∞
              an
              (n+1)2
              =    ．
              难度：较难
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            • 4． （2015春•上海校级期末）在等腰直角△ABC中，∠A=90°，BC=6，△ABC中排列着内接正方形，如图所示，若正方形的面积依次为S1，S2，…，Sn，…（从大到小），其中n∈N+，则
              lim
              n→∞
              （S1+S2+…+Sn）=    ．
              难度：较难
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            • 5． 设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1=1，4Sn=（an+1）2（n∈N*）．
              （1）求数列{an}的通项公式；
              （2）设bn=
              an+1
              an
              +
              an
              an+1
              （∈N*），试求
              lim
              n→∞
              （b1+b2+…+bn-2n）的值；
              （3）是否存在大于2的正整数m、k，使得am+am+1+am+2+…+am+k=300？若存在，求出所有符合条件的m、k；若不存在，请说明理由．
              难度：较难
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            • 6． 设{an}是公比为q（q≠1）的等比数列，若{an}中任意两项之积仍是该数列中的项，那么称{an}是封闭数列．
              （1）若a1=2，q=3，判断{an}是否为封闭数列，并说明理由；
              （2）证明{an}为封闭数列的充要条件是：存在整数m≥-1，使a1=qm；
              （3）记Πn是数列{an}的前n项之积，bn=log2Πn，若首项a1为正整数，公比q=2，试问：是否存在这样的封闭数列{an}，使
              lim
              n→∞
              (
              1
              b1
              +
              1
              b2
              +…+
              1
              bn
              )=
              11
              9
              ，若存在，求{an}的通项公式；若不存在，说明理由．
              难度：较难
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            • 7． 我们规定：对于任意实数A，若存在数列{an}和实数x（x≠0），使得A=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，则称数A可以表示成x进制形式，简记为：A=
              .
              x(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)
              ．如：A=
              .
              2(-1)(3)(-2)(1)
              ，则表示A是一个2进制形式的数，且A=-1+3×2+（-2）×22+1×23=5．
              （1）已知m=（1-2x）（1+3x2）（其中x≠0），试将m表示成x进制的简记形式．
              （2）若数列{an}满足a1=2，ak+1=
              1
              1-ak
              ，k∈N*              ，bn=
              .
              2(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)
              （n∈N*），是否存在实常数p和q，对于任意的n∈N*，bn=p•8n+q总成立？若存在，求出p和q；若不存在，说明理由．
              （3）若常数t满足t≠0且t＞-1，dn=
              .
              2(
              C
              1
              n
              )(
              C
              2
              n
              )(
              C
              3
              n
              )…(
              C
              n-1
              n
              )(
              C
              n
              n
              )
              ，求
              lim
              n→∞
              dn
              dn+1
              ．
              难度：较难
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            • 8． 设无穷数列{an}，如果存在常数A，对于任意给定的正数ɛ（无论多小），总存在正整数N，使得n＞N时，恒有|an-A|＜ɛ成立，就称数列{an}的极限为A，则四个无穷数列：
              ①{（-1）n×2}；
              ②{
              1
              1×3
              +
              1
              3×5
              +
              1
              5×7
              +…+
              1
              (2n-1)(2n+1)
              }；
              ③{1+
              1
              2
              +
              1
              22
              +
              1
              23
              +…+
              1
              2n-1
              }；
              ④{1×2+2×22+3×23+…+n×2n}，
              其极限为2共有（　　）
              A．4个
              B．3个
              C．2个
              D．1个
              难度：较难
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            • 9． 如果数列a1，
              a2
              a1
              ，
              a3
              a2
              ，…，
              an
              an-1
              ，…是首项为1，公比为
              		2
              的等比数列，bn=
              1
              log2an
              ，n≥2，
              lim
              n→∞
              (b2+b3…+bn)              =    ．
              难度：较难
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            • 10． 由函数y=f（x）确定数列{an}，an=f（n），函数y=f（x）的反函数y=f-1（x）能确定数列{bn}，bn=f-1（n），若对于任意n∈N*，都有bn=an，则称数列{bn}是数列{an}的“自反数列”．
              （1）若函数f（x）=
              px+1
              x+1
              确定数列{an}的自反数列为{bn}，求an；
              （2）已知正数数列{cn}的前n项之和Sn=
              1
              2
              (cn+
              n
              cn
              )              ，写出Sn表达式，并证明你的结论；
              （3）在（1）和（2）的条件下，d1=2，当n≥2时，设dn=
              -1
              an
              S
              2
              n
              ，Dn是数列{dn}的前n项之和，且
              lim
              n→∞
              Dn              ＞loga（1-2a）恒成立，求a的取值范围．
              难度：较难
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