知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知数列$\{a_{n}\}$是首项为$1$，公差为$2$的等差数列，$S_{n}$是其前$n$项和，则$ \overset\lim{n\rightarrow \infty } \dfrac {S_{n}}{a_{n}^{2}}=$ ______ ．

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2．
若无穷等比数列$\{a_{n}\}$的各项和为$S_{n}$，首项 $a_{1}=1$，公比为$a- \dfrac {3}{2}$，且 $ \overset\lim{n\rightarrow \infty }S_{n}=a$，则$a=$ ______ ．

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3．如图，记棱长为1的正方体C₁，以C₁各个面的中心为顶点的正八面体为C₂，以C₂各面的中心为顶点的正方体为C₃，以C₃各个面的中心为顶点的正八面体为C₄，…，以此类推得一系列的多面体C_n，设C_n的棱长为a_n，则数列{a_n}的各项和为 ______ ．

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4．如果 $%20%5Clim_%7Bn%E2%86%92%E2%88%9E%7D$ $%20%5Cfrac%20%7B3%5E%7Bn%7D%7D%7B3%5E%7Bn%2B1%7D%2B%28a%2B1%29%5E%7Bn%7D%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ ，那么a的取值范围是 ______ ．

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5．已知数列{a_n}的通项公式为 $a_%7Bn%7D%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D-n%EF%BC%8C%C2%A0n%E2%89%A44%20%5C%5C%20%20%5Csqrt%20%7Bn%5E%7B2%7D-4n%7D-n%EF%BC%8C%C2%A0n%EF%BC%9E4%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cend%7Bcases%7D%28n%E2%88%88N*%29$ ，则 $%20%5Clim_%7Bn%E2%86%92%2B%E2%88%9E%7Da_%7Bn%7D$ =（　　）

A．-2

C．2

D．不存在

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6．循环小数 $0.4%20%5Ccdot%203%20%5Ccdot%201$ ，化成分数为 ______ ．

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7．设对于任意实数x、y，函数f（x）、g（x）满足f（x+1）= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ f（x），且f（0）=3，g（x+y）=g（x）+2y，g（5）=13，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{f（n）}、{g（n）}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=g[ $%20%5Cfrac%20%7Bn%7D%7B2%7Df%28n%29$ ]，求数列{c_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）已知 $%20%5Clim_%7Bn%20%7D%5Cxrightarrow%7B%C2%A0%7D%E2%88%9E%20%5Cfrac%20%7B2n%2B3%7D%7B3%5E%7Bn-1%7D%7D$ =0，设F（n）=S_n-3n，是否存在整数m和M，使得对任意正整数n不等式m＜F（n）＜M恒成立？若存在，分别求出m和M的集合，并求出M-m的最小值；若不存在，请说明理由．

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8．无穷等比数列{a_n}（n∈N^*）的首项a₁=1，公比q= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ ，则前n项和S_n的极限 $%20%5Clim_%7Bn%E2%86%92%E2%88%9E%7D$ S_n= ______ ．

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9．设常数a＞0， $%28ax%5E%7B2%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B%20%5Csqrt%20%7Bx%7D%7D%29%5E%7B4%7D$ 展开式中x³的系数为 $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$ ，则 $%20%5Clim_%7Bn%E2%86%92%E2%88%9E%7D%28a%2Ba%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%2Ba%5E%7Bn%7D%29$ = ______ ．

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10．无穷等比数列{a_n}（n∈N^*）的前n项的和是S_n，且 $%20%5Clim_%7Bn%E2%86%92%E2%88%9E%7DS_%7Bn%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，则首项a₁的取值范围是 ______ ．

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