知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

3．已知O为坐标原点，抛物线C：y²=nx（n＞0）在第一象限内的点P（2，t）到焦点的距离为 $%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B2%7D$ ，C在点P处的切线交x轴于点Q，直线l₁经过点Q且垂直于x轴．
（1）求线段OQ的长；
（2）设不经过点P和Q的动直线l₂：x=my+b交C交点A和B，交l₁于点E，若直线PA，PB的斜率依次成等差数列，试问：l₂是否过定点？请说明理由．

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4．已知圆C方程为：x²+y²=4．
（Ⅰ）直线l过点P（1，2），且与圆C交于A、B两点，若 $%7CAB%7C%3D2%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，求直线l的方程；
（Ⅱ）过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOQ%7D%3D%20%5Coverrightarrow%20%7BOM%7D%2B%20%5Coverrightarrow%20%7BON%7D$ ，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．

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5．如图，射线OA，OB所在的直线的方向向量分别为 $%20%5Coverrightarrow%20%7Bd_%7B1%7D%7D%3D%281%EF%BC%8Ck%29$ ， $%20%5Coverrightarrow%20%7Bd_%7B2%7D%7D%3D%281%EF%BC%8C-k%29%28k%EF%BC%9E0%29$ ，点P在∠AOB内，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N；
（1）若k=1， $P%28%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%29$ ，求|OM|的值；
（2）若P（2，1），△OMP的面积为 $%20%5Cfrac%20%7B6%7D%7B5%7D$ ，求k的值；
（3）已知k为常数，M，N的中点为T，且S_△MON= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bk%7D$ ，当P变化时，求动点T轨迹方程．

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6．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BCD=90°，且BC= $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ CD=3．将△ABC沿BC的边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若点M在△BCD内部（含边界），则点M的轨迹的最大长度等于 ______ ；在翻折过程中，当点M位于线段BD上时，直线AB和CD所成的角的余弦值等于 ______ ．

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7．如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=1，E、F分别是AB的两个三等分点，AC，DF相交于点G，建立适当的平面直角坐标系：
（1）若动点M到D点距离等于它到C点距离的两倍，求动点M的轨迹围成区域的面积；
（2）证明：E G⊥D F．

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8．过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l₁、l₂，若l₁交x轴于A点，l₂交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．

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9．一动点在圆x²+y²=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点轨迹方程是 ______ ．

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10．已知定点A $%280%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29$ ，点B在圆F： $x%5E%7B2%7D%2B%28y-%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29%5E%7B2%7D%3D16$ 上运动，F为圆心，线段AB的垂直平分线交BF于点P．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）若曲线Q： $x%5E%7B2%7D-2ax%2By%5E%7B2%7D%2Ba%5E%7B2%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ 被轨迹E包围着，求实数a的最小值；
（3）已知Q（2，0），求|PQ|的最大值．

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