知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=60°．
（1）证明：BD⊥AA₁；
（2）求二面角A₁-C₁D-B的平面角的余弦值．

难度：较易

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2．已知平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，CD⊥AD，且AB=1，AD=CD=2．ADEF是正方形，在正方形ADEF内部有一点M，满足MB，MC与平面ADEF所成的角相等，则点M的轨迹长度为 ______ ．

难度：较易

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3．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD=4，AB=CD= $%20%5Csqrt%20%7B10%7D$ ．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若二面角A-PC-D的大小为60°，求AP的值．

难度：较易

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4．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，AB=4，tan∠EAB= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ ．
（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；
（2）当三棱锥C-ADE体积最大时，求二面角D-AE-B的余弦值．

难度：较易

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5．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．

（Ⅰ）求证AD⊥BM；
（Ⅱ）点E是线段DB上的一动点，当二面角E-AM-D大小为 $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D$ 时，试确定点E的位置．

难度：较易

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6．如图，直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC且△ABC的面积等于△ADC面积的 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ．梯形ABCD所在平面外有一点P，满足PA⊥平面ABCD，PA=AB．
（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；
（2）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明；若不存在，请说明理由．
（3）求二面角A-PD-C的余弦值．

难度：较易

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7．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B=B₁A=AB=BC，∠B₁BC=90°，D为AC的中点，AB⊥B₁D．
（Ⅰ）求证：平面ABB₁A₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线B₁D与平面ACC₁A₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角B-B₁D-C的余弦值．

难度：较易

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8．如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱D₁D的中点，点F在棱B₁B上，且满足B₁F=2FB．
（1）求证：EF⊥A₁C₁；
（2）在棱C₁C上确定一点G，使A，E，G，F四点共面，并求此时C₁G的长；
（3）求平面AEF与平面ABCD所成二面角的余弦值．

难度：较易

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9．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A₁B₁，A₁D₁的中点，点P，Q分别在棱DD₁，BB₁上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）
（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC₁∥平面EFPQ；
（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

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10．如图，在五面体EF-ABCD中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=l，AD=2 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，∠BAD=∠CDA=45°．
①求异面直线CE与AF所成角的余弦值；
②证明：CD⊥平面ABF；
③求二面角B-EF-A的正切值．

难度：较易

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