知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知
a
=(2cos2x，1)，
b
=（1，2
3
sinxcosx+m）（x∈R，m∈R，m是常数）且y=
a
•
b
．
（1）求y关于x的函数关系式y=f（x）；
（2）若x∈[0，
π
2
]时，f（x）的最大值为4，求m的值；
（3）求f（x）的最小正周期及单调减区间．

难度：中等

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2．定义：对于函数f（x），若存在非零常数M，T，使函数f（x）对于定义域内的任意实数x，都有f（x+T）-f（x）=M，则称函数f（x）是广义周期函数，称T为函数f（x）的广义周期，称M为周距
（1）证明函数f（x）=x²不是广义周期函数；
（2）试判断函数f（x）=kx+b+Asin（ωx+φ）（k、A、ω、φ为常数，k≠0，A＞0，ω＞0）是否为广义周期函数，若是，请求出它的一个广义周期T和周距M，若不是，请说明理由．

难度：中等

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3．设f（x）是定义在R上的奇函数且对任意实数x，恒有f（x+2）=-
1
f(x)
，当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²．
（1）求证：f（x）的周期函数；
（2）x∈[2，4]，求f（x）的解析式．

难度：中等

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4．已知偶函数y=f（x）的定义域为R，且对任意实数x，恒有f（
1
2
+x）=f（
1
2
-x），当x∈[0，
1
2
]，f（x）=（x-
1
2
）²．
（1）求证：f（x）为周期函数；
（2）当x∈R时，求f（x）的解析式；
（3）解不等式f（sinx）＜f（cosx）．

难度：中等

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5． f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x十2）=-f（x），当0≤x≤1时．f（x）=x²+x．
（1）求函数f（x）的周期；
（2）求函数f（x）在-1≤x≤0时的表达式；
（3）求f（6.5）．

难度：中等

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6．已知函数y=f（x）是定义在R上且周期为4的奇函数，若-2＜x≤-1时，f（x）=2cos
π
2
x+1，求当2≤x≤3时，函数y=f（x）的解析式．

难度：中等

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7．若函数f（x）满足：对于定义域内任一个x值，总存在-个常数T≠0，使得f（x+T）=f（x）都成立，则称f（x）是周期函数，其中常数T是f（x）的周期．若奇函数 f（x）是以3为周期的周期函数，已知f（1）=3．求f（47）的值．

难度：中等

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8．已知g（x）=x（2-x）（0＜x＜1），g（1）=0，若函数y=f（x）（x∈R）是以2为周期的奇函数，且在[0，1]上f（x）=g（x），画出y=f（x）（-2≤x≤2）的图象并求其表达式．

难度：中等

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9．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意实数x，都有f（x+1）=f（x-1）成立，已知当x∈[1，2]时，f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）．
（1）求x∈[-1，1]时，函数f（x）的表达式；
（2）求x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）时，函数f（x）的解析式．

难度：中等

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10．设f（x）是定义在R上以2为最小正周期的周期函数．当-1≤x＜1时，y=f（x）的表达式是幂函数，且经过点(
1
2
，
1
8
)，求函数在[2k-1，2k+1）（k∈Z）上的表达式．

难度：中等

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