知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x-a|+|x+b|+c的最小值为1．
（1）求a+b+c的值；
（2）求证：a²+b²+c²≥
1
3
．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=|x-3|．
（1）求不等式f（x）＜2+|x+1|的解集；
（2）已知m，n∈R⁺且
1
m
+
1
n
=2mn，求证：mf（n）+nf（-m）≥6．

难度：中等

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3．已知甲、乙、丙三种食物的维生素及成本入戏表实数：
食物类型甲乙丙
维生素C（单位/kg） 300 500 300
维生素D（单位/kg） 700 100 300
成本（元/kg） 5 4 3
某学校食堂欲将这三种食物混合加工成100kg混合食物，且要求混合食物中至少需要含35000单位的维生素C及40000单位的维生素D．
（1）设所用食物甲、乙、丙的质量分别为xkg，ykg，100-x-ykg（x≥0，y≥0），试列出x，y满足的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（2）用x，y表示这100kg混合食物的成本z，求出z的最小值．

难度：中等

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4．已知x，y满足约束条件
x≥1
x-3y≤-4
3x+5y≤30.
．
（1）画出函数的可行域，求目标函数z=2x+y的最大值；
（2）求z=
y+5
x+5
的最大值．

难度：中等

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5．已知正实数x，y满足等式
1
x
+
3
y
=2．
（1）求xy的最小值；
（2）若3x+y≥m²-m恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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6． m为整数，关于x的不等式|2x-m|≤1的整数解有且仅有一个值为3．
（1）求整数m的值；
（2）对满足已知不等式的x，证明：
2x+m
-
x-1
＞2．

难度：中等

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7．变量x，y满足条件
x-4y≤-3
3x+5y≤25
x≥1
，求z=2x-3y的最大值和最小值．

难度：中等

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8．设f（x）=|x-1|-|x-2|，若不等式f（x）＜ax的解集包含区间（-1，3）．
（1）求a的取值范围；
（2）当a取得最大值时，若正数x、y、z满足x+y+z=a，求
1
1+x
+
1
1+y
+
1
1+z
的最小值．

难度：中等

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9．若x，y均为正实数，且x+4y-xy=0，求x+y的最小值及取得最小值时x，y的值．

难度：中等

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10．如图（1）所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图（2）所示，求这个正六棱柱容器容积最大值．

难度：中等

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食物类型	甲	乙	丙
维生素C（单位/kg）	300	500	300
维生素D（单位/kg）	700	100	300
成本（元/kg）	5	4	3