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          共50条信息

            • 1． 已知集合A={a1，a2，…an}（n∈N*），规定：若集合A1∪A2∪…∪Am=A（m≥2，m∈N*），则称{A1，A2，…，Am}为集合A的一个分拆，当且仅当：A1=B1，A2=B2，…Am=Bm时，{A1，A2，…，Am}与{B1，B2，…，Bm}为同一分拆，所有不同的分拆种数记为fn（m）．例如：当n=1，m=2时，集合A={a1}的所有分拆为：{a1}∪{a1}，{a1}∪∅，∅∪{a3}，即f1（2）=3．
              （1）求f2（2）；
              （2）试用m、n表示fn（m）；
              （3）证明：
              m
              i=1
              fn（i）与m同为奇数或者同为偶数（当i=1时，规定fn（1）=1）
              难度：中等
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            • 2． 设集合S含有n个元素，A1，A2，…，Ak是S的不同子集，它们两两的交集非空，而S的其他子集不能与A1，A2，…，Ak都相交，求证：k=2n-1．
              难度：中等
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            • 3． 已知集合S={x|-1＜x＜1}，在S中定义一种运算“*”，当a，b∈S时，a*b=
              a+b
              1+ab
              ．
              （1）求证：a*b=S；
              （2）求证：（a*b）*c=a*（b*c）（a，b，c∈S）
              难度：中等
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            • 4． 设n∈N且n≥15，A，B都是{1，2，3，…，n}真子集，A∩B=∅，且A∪B={1，2，3，…，n}．证明：A或者B中必有两个不同数的和是完全平方数．
              难度：中等
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            • 5． 已知集合A={x|x=3a+5b，a，b∈Z}，B={y|y=7m+10n，m，n∈Z}，试证明：A=B．
              难度：中等
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