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          共50条信息

            • 1．
              已知定义域为\(R\)的奇函数\(y=f(x)\)的导函数为\(y=f′(x)\)，当\(x\neq 0\)时，\(f′(x)+ \dfrac {f(x)}{x} > 0\)，若\(a= \dfrac {1}{2}f( \dfrac {1}{2})\)，\(b=-2f(-2)\)，\(c=(\ln \dfrac {1}{2})f(\ln \dfrac {1}{2})\)，则\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小关系正确的是\((\)　　\()\)
              A．\(a < b < c\)
              B．\(b < c < a\)
              C．\(a < c < b\)
              D．\(c < a < b\)
              难度：中等
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            • 2．
              已知函数\(f(x)=\sin x\)，\(g(x)=e^{x}⋅f′(x)\)，其中\(e\)为自然对数的底数．
              \((I)\)求曲线\(y=g(x)\)在点\((0,g(0))\)处的切线方程；
              \((\)Ⅱ\()\)若对任意\(x∈[- \dfrac {π}{2},0]\)，不等式\(g(x)\geqslant x⋅f(x)+m\)恒成立，求实数\(m\)的取值范围；
              \((\)Ⅲ\()\)试探究当\(x∈[- \dfrac {π}{2}, \dfrac {π}{2}]\)时，方程\(g(x)=x⋅f(x)\)的解的个数，并说明理由．
              难度：中等
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            • 3．
              已知函数\(f(x)=(x^{2}+ax-a)⋅e^{1-x}\)，其中\(a∈R\)．
              \((1)\)求函数\(f′(x)\)的零点个数；
              \((2)\)证明：\(a\geqslant 0\)是函数\(f(x)\)存在最小值的充分而不必要条件．
              难度：中等
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            • 4．
              已知函数\(f(x)= \dfrac {\ln (2x)}{x}\)．
              \((I)\)求\(f(x)\)在区间\([1,a](a > 1)\)上的最小值；
              \((II)\)若关于\(x\)的不等式\(f^{2}(x)+mf(x) > 0\)只有两个整数解，求实数\(m\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 5．
              已知函数\(f(x)=a\ln x\)，\(g(x)=x+ \dfrac {1}{x}+f′(x)\)
              \((\)Ⅰ\()\)讨论\(h(x)=g(x)-f(x)\)的单调性；
              \((\)Ⅱ\()\)若\(h(x)\)的极值点为\(3\)，设方程\(f(x)+mx=0\)的两个根为\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，且\( \dfrac {x_{2}}{x_{1}}\geqslant e^{a}\)，求证：\( \dfrac{f\;{{'}}\left({x}_{1}+{x}_{2}\right)+m}{f\;{{'}}\left({x}_{1}-{x}_{2}\right)} > \dfrac {6}{5}\)．
              难度：中等
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            • 6．
              已知函数\(f(x)=e^{x}-x^{2}-ax\)．
              \((I)\)若函数\(f(x)\)的图象在\(x=0\)处的切线方程为\(y=2x+b\)，求\(a\)，\(b\)的值；
              \((\)Ⅱ\()\)若函数\(f(x)\)在\(R\)上是增函数，求实数\(a\)的最大值．
              难度：中等
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            • 7．
              已知函数\(f(x)=x+ \dfrac {a}{x}(a > 0)\)．
              \((1)\)证明：当\(x > 0\)时，\(f(x)\)在\((0, \sqrt {a}]\)上是减函数，在\([ \sqrt {a},+∞)\)上是增函数，并写出当\(x < 0\)时\(f(x)\)的单调区间；
              \((2)\)已知函数\(h(x)=x+ \dfrac {4}{x}-8,x∈[1,3]\)，函数\(g(x)=-x-2b\)，若对任意\(x_{1}∈[1,3]\)，总存在\(x_{2}∈[1,3]\)，使得\(g(x_{2})=h(x_{1})\)成立，求实数\(b\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 8．
              已知函数 \(f(x)= \dfrac {a}{x}+x\ln x,g(x)=x^{3}-x^{2}-5\)，若对任意的 \(x_{1},x_{2}∈[ \dfrac {1}{2},2]\)，都有\(f(x_{1})-g(x_{2})\geqslant 2\)成立，则\(a\)的取值范围是\((\)　　\()\)
              A．\((0,+∞)\)
              B．\([1,+∞)\)
              C．\((-∞,0)\)
              D．\((-∞,-1]\)
              难度：中等
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            • 9．
              设函数\(f(x)=ax^{2}+bx+k(k > 0)\)在\(x=0\)处取得极值，且曲线\(y=f(x)\)在点\((1,f(1))\)处的切线垂直于直线\(x+2y+1=0\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求\(a\)，\(b\)的值；
              \((\)Ⅱ\()\)若函数\(g(x)= \dfrac {e^{x}}{f(x)}\)，讨论\(g(x)\)的单调性．
              难度：中等
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            • 10．
              已知函数\(f(x)=(x-1)^{2}- \dfrac {x}{e^{x}}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求函数的单调区间；
              \((\)Ⅱ\()\)若函数\(f(x)\)有两个零点\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，证明\(x_{1}+x_{2} > 2\)．
              难度：中等
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