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          共50条信息

            • 1．
              已知函数\(f(x)= \dfrac {1}{2}x^{2}-ax+\ln x\)，其中\(a∈R\)．
              \((\)Ⅰ\()\)讨论函数\(f(x)\)极值点的个数；
              \((\)Ⅱ\()\)若函数\(f(x)\)有两个极值点\(m\)，\(n\)，其中\(m < n\)且\(m > \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)是否存在整数\(k\)使得不等式\(f(n)+k < f(m) < f(n)+3k+5\ln 2\)恒成立？若存在，求整数\(k\)的值；若不存在，请说明理由\(.(\)参考数据：\(\ln 2≈0.7\)，\(\ln 3≈1.1)\)
              难度：中等
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            • 2．
              已知函数\(f(x)=e^{x}-ax+a-1\)．
              \((1)\)若\(f(x)\)的极值为\(e-1\)，求\(a\)的值；
              \((2)\)若\(x∈[a,+∞)\)时，\(f(x)\geqslant 0\)恒成立，求\(a\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 3．
              已知函数\(f(x)= \dfrac {x^{m}}{e^{x}}+nx(m,n\)为整数\()\)的图象如图所示，则\(m\)，\(n\)的值可能为\((\)　　\()\)
              A．\(m=2\)，\(n=-1\)
              B．\(m=2\)，\(n=1\)
              C．\(m=1\)，\(n=1\)
              D．\(m=1\)，\(n=-1\)
              难度：中等
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            • 4．
              已知函数\(f(x)=x\ln x- \dfrac {a}{2}x^{2}-x+a(a∈R)\)在其定义域内有两个不同的极值点．
              \((1)\)求\(a\)的取值范围；
              \((2)\)证明：\((e+ \dfrac {1}{2})(e+ \dfrac {1}{2^{2}})(e+ \dfrac {1}{2^{3}})…(e+ \dfrac {1}{2^{n}}) < e^{n+ \frac {1}{e}},(n∈N*)\)．
              难度：中等
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            • 5．
              已知当\(x∈(1,+∞)\)时，关于\(x\)的方程\( \dfrac {x\ln x+(2-k)x}{k}=-1\)有唯一实数解，则\(k\)值所在的范围是\((\)　　\()\)
              A．\((3,4)\)
              B．\((4,5)\)
              C．\((5,6)\)
              D．\((6,7)\)
              难度：中等
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            • 6．
              已知函数\(f(x)=ae^{x}-x\)，\(f′(x)\)是\(f(x)\)的导数．
              \((\)Ⅰ\()\)讨论不等式\(f′(x)g(x-1) > 0\)的解集；
              \((\)Ⅱ\()\)当\(m > 0\)且\(a=1\)时，求\(f(x)\)在\(x∈[-m,m]\)上的最值；并求当\(f(x) < e^{2}-2\)在\(x∈[-m,m]\)恒成立时\(m\)的取值范围．
              难度：中等
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            • 7．
              若函数\(f(x)=a(x-2)e^{x}+\ln x+ \dfrac {1}{x}\)在\((0,2)\)上存在两个极值点，则\(a\)的取值范围为\((\)　　\()\)
              A．\((-∞,- \dfrac {1}{4e^{2}})\)
              B．\((- \dfrac {1}{e}, \dfrac {1}{4e^{2}})∪(1,+∞)\)
              C．\((-∞,- \dfrac {1}{e})\)
              D．\((-∞,- \dfrac {1}{e})∪(- \dfrac {1}{e},- \dfrac {1}{4e^{2}})\)
              难度：中等
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            • 8．
              已知曲线\(y=f(x)=x^{2}-1-a\ln x(a∈R)\)与\(x\)轴有唯一公共点\(A\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求实数\(a\)的取值范围；
              \((\)Ⅱ\()\)曲线\(y=f(x)\)在点\(A\)处的切线斜率为\(a^{2}-a-7.\)若两个不相等的正实数\(x_{1}\)，\(x_{2}\)满足\(|f(x_{1})|=|f(x_{2})|\)，求证：\(x_{1}x_{2} < 1\)．
              难度：中等
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            • 9．
              已知\(f(x)= \dfrac {be^{x}+a\ln (x+2)}{x+2}\)在\((-1,f(-1))\)处的切线方程为\(y=x+ \dfrac {1}{e}+1\)．
              \((1)\)求\(y=f(x)\)的解析式；
              \((2)\)设\(h(x)=(x+2)e^{x}- \dfrac {1}{x+2}(x > -2)\)，求\(h(x)\)零点的个数；
              \((3)\)求证：\(y=f(x)\)在\((-2,+∞)\)上单调递增．
              难度：中等
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            • 10．
              已知函数 \(f\) \((\) \(x)=(\) \(x-1- \dfrac {a}{6})e^{x}+1\)，其中 \(e=2.718⋅⋅⋅\)为自然对数的底数，常数 \(a > 0\)．
              \((I)\)求函数 \(f\) \((\) \(x)\) 在区间 \((0,+∞)\) 上的零点个数；
              \((II)\)函数 \(F\) \((\) \(x)\) 的导数 \(F′(x)=(e^{x}-a)\) \(f\) \((x)\)，是否存在无数个\(a∈(1,4)\)，使得 \(\ln a\)为数\(F\) \((\) \(x)\) 的极大值点？说明理由．
              难度：中等
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