知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设函数f（x）=1nx+
a
2
x²-（a+1）x（a∈R）．
（1）当a=
1
2
时，求函数（x）的单调区间；
（2）当x＞1时，若f（x）＜
a
2
x2-x-a（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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2．已知函数h（x）=-2ax+lnx．
（1）当a=1时，求h（x）在（2，h（2））处的切线方程；
（2）令f（x）=
a
2
x²+h（x）已知函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₁•x₂＞
1
2
，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若存在x₀∈[1+
2
2
，2]，使不等式f（x₀）+ln（a+1）＞m（a²-1）-（a+1）+2ln2对任意a（取值范围内的值）恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=lnx+ax²，g（x）=
1
x
+x+b，且直线y=-
1
2
是函数f（x）的一条切线．
（1）求a的值；
（2）对任意的x₁∈[1，
e
]，都存在x₂∈[1，4]，使得f（x₁）=g（x₂），求b的取值范围
（3）已知方程f（x）=cx有两个根x₁，x₂（x₁＜x₂），若g（x₁+x₂）+2c=0，求证：b＜0．

难度：中等

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4．求函数f（x）=-2cosx-x在区间[-
π
2
，
π
2
]上的最大值与最小值．

难度：中等

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5．己知定义在R上的奇函数f（x）的图象为一条连续不断的曲线，f（1+x）=f（1-x），f（1）=a，且0＜x＜1时，f（x）的导函数f′（x）满足：f′（x）＜f（x），则f（x）在[2015，2016]上的最大值为．

难度：中等

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6．已知函数f（x）=（x²+ax）e^x的两个极值点为x₁，x₂且x₁＜x₂，x₁+x₂=-2-
5
，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=kx+1
（1）求k，x₁，x₂的值；
（2）当m≤-e时，求证：[f（x）+2e^x]•[（x-2）e^x-m+1]＞
3
4
e^x．

难度：中等

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7．求下列函数的最值；
（1）f（x）=-x³+9x²-24x+10，x∈[0，3]；
（2）f（x）=sin2x-x，x∈[-
π
2
，
π
2
]；
（3）f（x）=
1-x+x2
1+x-x2
，x∈[0，1]．

难度：中等

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8．已知关于x的不等式1nx-
a(x-1)
2
＜0（a∈R）在（1，+∞）上恒成立．
（1）记a的最小值为a′，求f（x）=a′x²+lnx在（1，f（1））处的切线方程．

难度：中等

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9．已知函数f（x）=e^x-kx，x∈R．
（1）若k=e，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若k＞0，且对任意x∈R，f（|x|）的图象在x轴上方，求实数k的取值范围．

难度：中等

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10．设函数f（x）=x²-ln（x+a）+b，g（x）=x³
（1）若函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是x+y=0，求实数a，b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当x∈（0，+∞）时，求证：f（x）＜g（x）；
（Ⅲ）证明：对于任意的正整数n，不等式1+
1
e4
+
1
e18
+…+
1
e(n-1)n2
＜
n(n+3)
2
成立．

难度：中等

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