知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设函数f（x）=x³-3x+1，x∈[-2，2]的最大值为M，最小值为m，则M+m= ．

难度：中等

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2．已知函数f（
x
2
）=-
1
8
x³+
m
4
x²-m，g（x）=-
1
2
x³+mx²+（a+1）x+2xcosx-m．
（1）若曲线y=f（x）仅在两个不同的点A（x₁，f（x₁）），B（x₁，f（x₂））处的切线都经过点（2，t），求证：t=3m-8，或t=-
1
27
m³+
2
3
m²-m．
（2）当x∈[0，1]时，若f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．

难度：中等

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3．已知函数f(x)=lnx+
1-x
ax
(a＞0)．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值．

难度：中等

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4．设函数f（x）=ax-sinx，x∈[0，π]．
（1）当a=
1
2
时，求f（x）的单调区间；
（2）若不等式f（x）≤1-cosx恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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5．已知f（x）=x²-alnx，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＞0时，若f（x）的最小值为1，求a的值；
（3）设g（x）=f（x）-2x，若g（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），证明：g（x₁）+g（x₂）＞-
5
2
．

难度：中等

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6．已知函数f（x）=ax²-blnx在点（1，f（1））处的切线方程为y=1；
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的最小值．

难度：中等

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7．设函数f（x）=lnx，g（x）=x-
1
x
．
（1）求函数φ（x）=
5
4
f（x）-
1
2
g（x）的极值；
（2）若x≥1时，恒有f（x）≤λg（x）成立，求λ的最小值．

难度：中等

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8．已知定义在R上的奇函数f（x）的图象为一条连续不断的曲线f（1+x）=f（1-x），f（1）=a，且当0＜x＜1时，f（x）的导函数f′（x）满足：f′（x）＜f（x），则f（x）在[2015，2016]上的最大值为（　　）

A．a

C．-a

D．2016

难度：中等

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9．已知函数f（x）=lnx+ax²+bx（其中a，b为常数且a≠0）在x=1处取得极值．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在闭区间[1，e]（其中e为自然对数的底数）上的最大值为1，求实数a的值．

难度：中等

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10．已知f（x）=3-4^x+2xln2，数列{a_n} 满足：-
1
2
＜a₁＜0，21+an+1=f（a_n）（n∈N^*）
（1）求f（x）在[-
1
2
，0]上的最大值和最小值；
（2）用数学归纳法证明：-
1
2
＜a_n＜0；
（3）判断a_n与a_n+1（n∈N^*）的大小，并说明理由．

难度：中等

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