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          共50条信息

            • 1． 某农场规划将果树种在正方形的场地内．为了保护果树不被风吹，决定在果树的周围种松树． 在如图里，你可以看到规划种植果树的列数（n），果树数量及松树数量的规律：
              （1）按此规律，n=5时果树数量及松树数量分别为多少；并写出果树数量an，及松树数量bn关于n的表达式．
              （2）定义：f（n+1）-f（n）（n∈N*）为f（n）增加的速度；现农场想扩大种植面积，问：哪种树增加的速度会更快？并说明理由．
              难度：中等
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            • 2． 已知a1，a2，…，an是由m（n∈N*）个整数1，2，…，n按任意次序排列而成的数列，数列{bn}满足bn=n+1-ak（k=1，2，…，n）．
              （1）当n=3时，写出数列{an}和{bn}，使得a2=3b2；
              （2）证明：当n为正偶数时，不存在满足ak=bk（k=1，2，…，n）的数列{an}；
              （3）若c1，c2，…，cn是1，2，…，n按从大到小的顺序排列而成的数列，写出ck（k=1，2，…，n），并用含n的式子表示c1+2c2+…+ncn．
              （参考：12+22+…+n2=
              1
              6
              n（n+1）（2n+1））
              难度：中等
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            • 3． 已知数列{an}（n=1，2，3，…），⊙C1：x2+y2-2anx+2an+1y-2=0和⊙C2：x2+y2+2x+2y-2=0．若⊙C1和⊙C2交于A、B两点，且这两点平分⊙C2的周长
              （1）求证数列{an}是等差数列；
              （2）若a1=1，则当⊙C1面积最小时，求出⊙C1的方程．
              难度：中等
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            • 4． （2015秋•连江县校级月考）如图，定点A，B的坐标分别为A（0，27），B（0，3），一质点C从原点出发，始终沿x轴的正方向运动，已知第1分钟内，质点C运动了1个单位，之后每分钟内比上一分钟内多运动了2个单位，记第n分钟内质点运动了an个单位，此时质点的位置为（Cn，0）．
              （Ⅰ）求an，Cn的表达式；并求数列{
              1
              an-1an
              }              的前n项和Sn．
              （Ⅱ）当n为何值时，tan∠ACnB取得最大，最大值为多少？
              难度：中等
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            • 5． 某种细菌在培养过程中每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过2小时，这种细菌能由1个繁殖到    个．
              难度：中等
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            • 6． 若数列{an}对任意n∈N*，满足
              an+2-an+1
              an+1-an
              =k（k为常数），则称数列{an}为等差比数列．
              （1）若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2（an-1），求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否为等差数列；
              （2）若数列{an}为等差数列，试判断{an}是否一定为等差比数列，并说明理由；
              （3）试写出一个等差比数列的通项公式an，使此数列既不是等差数列，也不是等比数列，并证明之．
              难度：中等
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            • 7． 对实数列{an}，若存在常数M＞0，使得对任意的n∈N*，|an|≤M，（*），则称数列{an}为有界数列，若M是使（*）成立的最小正常数，则称M是最佳上界，现定义：ak=
              1
              k2
              +
              1
              k2+1
              +…+
              1
              (k+1)2-1
              （k=1，2，…）．
              （1）比较a1，a2，a3的大小，并猜想数列{an}的单调性（不需证明）；
              （2）定义数列{an}的交替和为：Sn=a1-a2+a3-a4+…+（-1）n-1an，问：数列{Sn}是否为有界函数？证明你的结论；
              （3）①（理科）证明：数列{nan}为有界数列，并求此数列的最佳上界M；
              ②（文科）证明：数列{nan}为有界数列．
              难度：中等
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            • 8． 在数列{an}中，从数列{an}中选出n（n≥3）项并按原顺序组成新的数列记为{bn}，并称{bn}为数列{an}的n项子列，例如an=
              1
              n
              ，数列
              1
              2
              ，
              1
              3
              ，
              1
              5
              ，
              1
              8
              为{an}的一个4项子列．
              （1）试写出数列{an}的一个3项子列，并使其为等差数列；
              （2）若an=
              1
              n
              ，{bn}为数列{an}的一个5项子列，且{bn}为等差数列，证明：{bn}的公差d满足-
              1
              8
              ＜d＜0；
              （3）若{an}是公差不为0的等差数列，其子列a k1，a k2，a k3，a kn，…恰为等比数列，且k1=1，k2=3，k3=7，令Sn=k1+k2+…+kn，求证：
              6
              32(S1+1+2)-12
              +
              6
              33(S2+2+2)-12
              +
              6
              34(S3+3+2)-12
              +…+
              6
              3n+1(Sn+n+2)-12
              ＜
              97
              340
              ．
              难度：中等
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            • 9． 定义在R上的函数f（x）=
              4x
              4x+2
              ，Sn=f（
              1
              n
              ）+f（
              2
              n
              ）+…+f（
              n-1
              n
              ），n=2，3，…
              （1）求Sn；
              （2）是否存在常数M＞0，∀n≥2，有
              1
              S2
              +
              1
              S3
              +…+
              1
              Sn+1
              ≤M．
              难度：中等
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            • 10． 如图所示，将一个边长为1的正方形沿中线对半分成面积相等的两个长方形，再将其中的一个长方形沿中线对半分成面积相等顶点两个正方形，如此下去，得到一系列小正方形，依次记这些小正方形的面积为a1，a2，a3，…
              （1）写出以这些小正方形面积构成的数列{an}的通项公式；
              （2）猜测所有这些小正方形面积的和大约是多少？
              难度：中等
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